行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ に対して、$A^n$ を求める問題です。ここで、$n$ は0以上の整数です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ に対して、$A^n$ を求める問題です。ここで、$n$ は0以上の整数です。

2. 解き方の手順

まず、$A$ が回転行列であることを認識します。

$A$ は角度 $\theta$ の回転行列

$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

の形をしており、$\cos \theta = \frac{1}{2}$ かつ $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であることから、$\theta = \frac{\pi}{3}$ であることがわかります。

したがって、$A = R(\frac{\pi}{3})$ です。

回転行列の性質から、$A^n = R(\frac{n\pi}{3})$ となります。

つまり、$A^n = \begin{pmatrix} \cos \frac{n\pi}{3} & -\sin \frac{n\pi}{3} \\ \sin \frac{n\pi}{3} & \cos \frac{n\pi}{3} \end{pmatrix}$ です。

3. 最終的な答え

$A^n = \begin{pmatrix} \cos \frac{n\pi}{3} & -\sin \frac{n\pi}{3} \\ \sin \frac{n\pi}{3} & \cos \frac{n\pi}{3} \end{pmatrix}$