与えられた連立一次方程式について、以下の問いに答える。 (1) 解をもつための $a$ の条件を求める。 (2) $a = -2$ のとき、この連立方程式を解く。 連立一次方程式は、 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & a \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ である。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、以下の問いに答える。

(1) 解をもつための $a$ の条件を求める。

(2) $a = -2$ のとき、この連立方程式を解く。

連立一次方程式は、

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & a \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$

である。

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を作り、行基本変形を行う。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 2 & -2 & a & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & -4 & a-4 & -8 \\ 1 & -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

3行目から1行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & -4 & a-4 & -8 \\ 0 & -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

2行目を-4で割る。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{4-a}{4} & 2 \\ 0 & -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の2倍を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{4-a}{4} & 2 \\ 0 & 0 & \frac{4-a}{2} - 1 & 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{4-a}{4} & 2 \\ 0 & 0 & \frac{2-a}{2} & 4 \end{pmatrix}$

解をもつための条件は、$\frac{2-a}{2} \neq 0$ であるから、$a \neq 2$ 。

(2) $a = -2$ のとき、拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 2 & -2 & -2 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

である。

このとき、変形後の拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

となる。よって、

$2z = 4$ より $z = 2$ 。

$y + \frac{3}{2}z = 2$ より $y + \frac{3}{2}(2) = 2$ だから $y + 3 = 2$ であり $y = -1$ 。

$x + y + 2z = 5$ より $x + (-1) + 2(2) = 5$ だから $x - 1 + 4 = 5$ であり $x + 3 = 5$ なので $x = 2$ 。

したがって、$x = 2, y = -1, z = 2$ 。

3. 最終的な答え

(1) $a \neq 2$

(2) $x = 2, y = -1, z = 2$