ベクトル $a$ とベクトル $b$ が線形独立であるとき、以下の等式が成り立つように $x$ と $y$ の値を求める問題です。 (1) $2xa - 5b = 8a + (3y + 1)b$ (2) $x(a + b) + y(a - b) = 4ya + b$

1. 問題の内容

ベクトル $a$ とベクトル $b$ が線形独立であるとき、以下の等式が成り立つように $x$ と $y$ の値を求める問題です。

(1) $2xa - 5b = 8a + (3y + 1)b$

(2) $x(a + b) + y(a - b) = 4ya + b$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた等式を変形し、$a$ と $b$ の係数を比較します。

$2xa - 5b = 8a + (3y + 1)b$

$a$ と $b$ が線形独立なので、それぞれの係数が等しくなければなりません。

したがって、

$2x = 8$

$-5 = 3y + 1$

これらの式を解きます。

$2x = 8$ より、

$x = 4$

$-5 = 3y + 1$ より、

$3y = -6$

$y = -2$

(2)

与えられた等式を展開し、$a$ と $b$ の係数を比較します。

$x(a + b) + y(a - b) = 4ya + b$

$xa + xb + ya - yb = 4ya + b$

$(x + y)a + (x - y)b = 4ya + b$

$a$ と $b$ が線形独立なので、それぞれの係数が等しくなければなりません。

したがって、

$x + y = 4y$

$x - y = 1$

これらの式を解きます。

$x + y = 4y$ より、

$x = 3y$

$x - y = 1$ に $x = 3y$ を代入すると、

$3y - y = 1$

$2y = 1$

$y = \frac{1}{2}$

$x = 3y$ より、

$x = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 4$, $y = -2$

(2) $x = \frac{3}{2}$, $y = \frac{1}{2}$