放物線 $y = x^2 - 2$ と直線 $y = 3x - a$ が接するときの定数 $a$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2$ と直線 $y = 3x - a$ が接するときの定数 $a$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線が接するという条件を数式で表す。

放物線 $y = x^2 - 2$ と直線 $y = 3x - a$ の交点を求めるために、これらの方程式を連立させる。

$x^2 - 2 = 3x - a$

これを変形すると、

$x^2 - 3x + a - 2 = 0$

この2次方程式が重解を持つとき、放物線と直線は接する。2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $0$ になることである。

$D = (-3)^2 - 4(1)(a - 2) = 0$

$9 - 4a + 8 = 0$

$17 - 4a = 0$

$4a = 17$

$a = \frac{17}{4}$

次に、接点の $x$ 座標を求める。

$x^2 - 3x + \frac{17}{4} - 2 = 0$

$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 = 0$

$x = \frac{3}{2}$

接点の $y$ 座標は、$y = 3x - a$ に $x = \frac{3}{2}$ と $a = \frac{17}{4}$ を代入して求める。

$y = 3(\frac{3}{2}) - \frac{17}{4}$

$y = \frac{9}{2} - \frac{17}{4}$

$y = \frac{18}{4} - \frac{17}{4}$

$y = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{17}{4}$

接点の座標は $(\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$