放物線と直線の共有点を求める問題です。与えられた放物線と直線の式から、共有点が存在するかどうかを判定し、存在する場合はその座標を求めます。以下の３つの問題があります。 (1) $y = x^2$, $y = 4x - 4$ (2) $y = -x^2 - 1$, $y = -6x + 4$ (3) $y = 3x^2 - x$, $y = x - 1$

1. 問題の内容

放物線と直線の共有点を求める問題です。与えられた放物線と直線の式から、共有点が存在するかどうかを判定し、存在する場合はその座標を求めます。以下の３つの問題があります。

(1) $y = x^2$, $y = 4x - 4$

(2) $y = -x^2 - 1$, $y = -6x + 4$

(3) $y = 3x^2 - x$, $y = x - 1$

2. 解き方の手順

放物線と直線の式を連立させ、得られる2次方程式の判別式 $D$ を調べます。

$D > 0$ ならば共有点は2つ、

$D = 0$ ならば共有点は1つ（接する）、

$D < 0$ ならば共有点はありません。

共有点が存在する場合は、連立方程式を解いて共有点の座標を求めます。

(1) $y = x^2$, $y = 4x - 4$ の場合

$x^2 = 4x - 4$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

$y = x^2 = 2^2 = 4$

共有点は $(2, 4)$

(2) $y = -x^2 - 1$, $y = -6x + 4$ の場合

$-x^2 - 1 = -6x + 4$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

$(x - 1)(x - 5) = 0$

$x = 1, 5$

$x = 1$ のとき $y = -6(1) + 4 = -2$

$x = 5$ のとき $y = -6(5) + 4 = -26$

共有点は $(1, -2)$, $(5, -26)$

(3) $y = 3x^2 - x$, $y = x - 1$ の場合

$3x^2 - x = x - 1$

$3x^2 - 2x + 1 = 0$

判別式 $D = (-2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8$

$D < 0$ より、共有点はありません。

3. 最終的な答え

(1) 共有点は $(2, 4)$

(2) 共有点は $(1, -2)$, $(5, -26)$

(3) 共有点はない