問題は2つのパートに分かれています。 最初のパート（1）は次の式を展開すること、2番目のパート（2）は次の式を因数分解することです。 問題として取り上げるのは、1の(2)(x-3y)^3と、2の(2) 64x^3 - 125y^3, (3) 9x^2 - 4y^2 + 4y -1, (4) x^4 - 7x^2 -18の4問です。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

最初のパート（1）は次の式を展開すること、2番目のパート（2）は次の式を因数分解することです。

問題として取り上げるのは、1の(2)(x-3y)^3と、2の(2) 64x^3 - 125y^3, (3) 9x^2 - 4y^2 + 4y -1, (4) x^4 - 7x^2 -18の4問です。

2. 解き方の手順

(1) (x-3y)^3 の展開

二項定理または展開の公式 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を利用します。

$a = x$ , $b = 3y$ として代入します。

$(x-3y)^3 = x^3 - 3x^2(3y) + 3x(3y)^2 - (3y)^3$

$= x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$

(2) 64x^3 - 125y^3 の因数分解

これは $a^3 - b^3$ の形であり、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用します。

$a = 4x$, $b = 5y$ とすると、

$64x^3 - 125y^3 = (4x)^3 - (5y)^3 = (4x - 5y)((4x)^2 + (4x)(5y) + (5y)^2)$

$=(4x - 5y)(16x^2 + 20xy + 25y^2)$

(3) 9x^2 - 4y^2 + 4y -1 の因数分解

まず、後ろの項を $-(4y^2 - 4y + 1)$ と変形します。すると、$4y^2 - 4y + 1 = (2y - 1)^2$ となります。

したがって、$9x^2 - 4y^2 + 4y - 1 = 9x^2 - (2y - 1)^2 = (3x)^2 - (2y - 1)^2$ となります。

これは $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形なので、$a = 3x$, $b = 2y - 1$ として代入します。

$(3x + (2y - 1))(3x - (2y - 1)) = (3x + 2y - 1)(3x - 2y + 1)$

(4) x^4 - 7x^2 - 18 の因数分解

$x^2 = X$ とおくと、$X^2 - 7X - 18$ となります。

これは $(X - 9)(X + 2)$ と因数分解できます。

$X$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 - 9)(x^2 + 2)$ となります。

さらに、$x^2 - 9$ は $(x - 3)(x + 3)$ と因数分解できるので、

$(x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) (x-3y)^3 = x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3

(2) 64x^3 - 125y^3 = (4x - 5y)(16x^2 + 20xy + 25y^2)

(3) 9x^2 - 4y^2 + 4y - 1 = (3x + 2y - 1)(3x - 2y + 1)

(4) x^4 - 7x^2 - 18 = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)