初項 $a_1 = 1$ であり、漸化式 $\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+1} = \frac{a_n}{1+4na_n}$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求め、$\lim_{n\to\infty} n^2 a_n$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

初項 $a_1 = 1$ であり、漸化式 $\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+1} = \frac{a_n}{1+4na_n}$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求め、$\lim_{n\to\infty} n^2 a_n$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式の逆数をとります。

$$\frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}} = \frac{1+4na_n}{a_n}$$

$$1 + \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 4n$$

$$\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 4n$$

ここで、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、$b_1 = \frac{1}{a_1} = 1$ であり、

$b_{n+1} - b_n = 4n$ となります。

これは階差数列なので、$n \ge 2$ のとき

$$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4k = 1 + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + 2n(n-1) = 2n^2 - 2n + 1$$

$n=1$ のときも、$b_1 = 2(1)^2 - 2(1) + 1 = 1$ なので、

$b_n = 2n^2 - 2n + 1$ が成り立ちます。

よって、$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{2n^2 - 2n + 1}$ です。

次に、$\lim_{n\to\infty} n^2 a_n$ を計算します。

$$\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2n^2 - 2n + 1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

一般項 $a_n$ は $a_n = \frac{1}{2n^2 - 2n + 1}$ です。

また、$\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = \frac{1}{2}$ です。