放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動した曲線で、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にある放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動した曲線で、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にある放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平方完成する。

$y = x^2 - 3x + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

したがって、放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ の頂点は $(\frac{3}{2}, \frac{7}{4})$ である。

平行移動後の放物線の頂点の座標を $(p, q)$ とすると、その方程式は $y = (x - p)^2 + q$ と表せる。

また、頂点 $(p, q)$ は直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、$q = 2p + 1$ が成り立つ。

したがって、平行移動後の放物線の方程式は $y = (x - p)^2 + 2p + 1$ と表せる。

この放物線が点 $(2, 4)$ を通るので、

$4 = (2 - p)^2 + 2p + 1$

$4 = 4 - 4p + p^2 + 2p + 1$

$0 = p^2 - 2p + 1$

$0 = (p - 1)^2$

$p = 1$

したがって、$q = 2p + 1 = 2(1) + 1 = 3$

平行移動後の放物線の方程式は $y = (x - 1)^2 + 3 = x^2 - 2x + 1 + 3 = x^2 - 2x + 4$ となる。

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 2x + 4$