与えられた $x$ や $a, b$ の値を用いて、それぞれの式の値を計算する問題です。 (1) $x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$x^2 - 2x$ の値を求める。 (2) $x = \sqrt{7} + 2$ のとき、$x^2 - 4x + 4$ の値を求める。 (3) $x = \sqrt{7} + 1$ のとき、$x^2 + 5x - 6$ の値を求める。 (4) $x = 2 + \sqrt{2}$, $y = 3\sqrt{2}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求める。 (5) $a = 2 + \sqrt{3}$, $b = 2 - \sqrt{3}$ のとき、$a^2 - b^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた $x$ や $a, b$ の値を用いて、それぞれの式の値を計算する問題です。

(1) $x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$x^2 - 2x$ の値を求める。

(2) $x = \sqrt{7} + 2$ のとき、$x^2 - 4x + 4$ の値を求める。

(3) $x = \sqrt{7} + 1$ のとき、$x^2 + 5x - 6$ の値を求める。

(4) $x = 2 + \sqrt{2}$, $y = 3\sqrt{2}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求める。

(5) $a = 2 + \sqrt{3}$, $b = 2 - \sqrt{3}$ のとき、$a^2 - b^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$x^2 - 2x$ の値を求める。

$x^2 - 2x = x(x - 2)$

$x - 2 = 1 + \sqrt{2} - 2 = \sqrt{2} - 1$

$x^2 - 2x = (1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

(2) $x = \sqrt{7} + 2$ のとき、$x^2 - 4x + 4$ の値を求める。

$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

$x - 2 = \sqrt{7} + 2 - 2 = \sqrt{7}$

$(x - 2)^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$

(3) $x = \sqrt{7} + 1$ のとき、$x^2 + 5x - 6$ の値を求める。

$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$

$x + 6 = \sqrt{7} + 1 + 6 = \sqrt{7} + 7$

$x - 1 = \sqrt{7} + 1 - 1 = \sqrt{7}$

$(x + 6)(x - 1) = (\sqrt{7} + 7)(\sqrt{7}) = (\sqrt{7})^2 + 7\sqrt{7} = 7 + 7\sqrt{7}$

(4) $x = 2 + \sqrt{2}$, $y = 3\sqrt{2}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求める。

$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$

$x + y = 2 + \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 2 + 4\sqrt{2}$

$xy = (2 + \sqrt{2})(3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} + 3(\sqrt{2})^2 = 6\sqrt{2} + 6$

$xy(x + y) = (6\sqrt{2} + 6)(2 + 4\sqrt{2}) = 12\sqrt{2} + 48 + 12 + 24\sqrt{2} = 36\sqrt{2} + 60$

(5) $a = 2 + \sqrt{3}$, $b = 2 - \sqrt{3}$ のとき、$a^2 - b^2$ の値を求める。

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

$a + b = 2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4$

$a - b = 2 + \sqrt{3} - (2 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$(a + b)(a - b) = 4(2\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 7

(3) $7 + 7\sqrt{7}$

(4) $60 + 36\sqrt{2}$

(5) $8\sqrt{3}$