与えられた2つの等式 $50(x^2+y^2) = (x+7y)^2$ … ① $-4\sqrt{3}x+y=1$ … ② を満たす実数$x, y$について、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2つの等式

$50(x^2+y^2) = (x+7y)^2$ … ①

$-4\sqrt{3}x+y=1$ … ②

を満たす実数$x, y$について、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、①の左辺から右辺を引きます。

$50(x^2+y^2) - (x+7y)^2 = 50(x^2+y^2) - (x^2+14xy+49y^2) = 49x^2 - 14xy + y^2 = (7x-y)^2$

したがって、①は $(7x-y)^2 = 0$ となります。

よって、$7x-y = 0$ つまり $y = 7x$ が得られます。

次に、②に $y = 7x$ を代入します。

$-4\sqrt{3}x + 7x = 1$

$(7-4\sqrt{3})x = 1$

$x = \frac{1}{7-4\sqrt{3}} = \frac{7+4\sqrt{3}}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})} = \frac{7+4\sqrt{3}}{49 - 16 \times 3} = \frac{7+4\sqrt{3}}{49-48} = 7+4\sqrt{3}$

したがって、$x = 7+4\sqrt{3}$ です。

また、$y = 7x = 7(7+4\sqrt{3}) = 49+28\sqrt{3}$ となります。

最後に、$x^2+y^2-50=400(エオ+カ\sqrt{3})$ について、$x=7+4\sqrt{3}$、$y=49+28\sqrt{3}$を代入して計算します。

$x^2=(7+4\sqrt{3})^2 = 49+56\sqrt{3}+16(3)=49+56\sqrt{3}+48=97+56\sqrt{3}$

$y^2=(49+28\sqrt{3})^2=49^2+2\cdot49\cdot28\sqrt{3}+28^2\cdot3=2401+2744\sqrt{3}+2352=4753+2744\sqrt{3}$

$x^2+y^2-50 = 97+56\sqrt{3}+4753+2744\sqrt{3}-50 = 4800+2800\sqrt{3}$

$x^2+y^2-50=4800+2800\sqrt{3} = 400(12+7\sqrt{3})$

したがって、$x^2+y^2-50=400(12+7\sqrt{3})$ です。

3. 最終的な答え

ア: 7

イ: 7

ウ: 4

y = 7(7 + 4√3) = 49 + 28√3

エオ: 12

カ: 7