連立方程式 $2x + y = b$ $x + ay = 2$ が与えられており、この連立方程式が一意解を持たないときの $a$ の値を求め、そのときの連立方程式を解く問題です。

1. 問題の内容

連立方程式

$2x + y = b$

$x + ay = 2$

が与えられており、この連立方程式が一意解を持たないときの $a$ の値を求め、そのときの連立方程式を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値を求める

連立方程式が一意解を持たない条件は、2つの直線が平行であるか、または一致することです。

2つの式から $x$ と $y$ を消去して、定数の関係を求めます。

まず、2番目の式を2倍します。

$2x + 2ay = 4$

1番目の式と、2番目の式を2倍した式を比較します。

$2x + y = b$

$2x + 2ay = 4$

この連立方程式が一意解を持たないためには、以下の条件が成り立ちます。

平行である場合:

$y$ の係数の比が等しい必要があります。

$1 = 2a$

$a = \frac{1}{2}$

このとき、定数項は異なります。

$b \neq 4$

一致する場合：

$y$ の係数の比が等しく、定数項も等しい必要があります。

$1 = 2a$

$a = \frac{1}{2}$

$b = 4$

問題文より一意解を持たないため、上記の2パターンが考えられますが、一意解を持たない場合は係数の比が等しくなる必要があります。したがって、$a = \frac{1}{2}$ です。

(2) 連立方程式を解く

$a = \frac{1}{2}$ を代入すると、連立方程式は次のようになります。

$2x + y = b$

$x + \frac{1}{2}y = 2$

2番目の式を2倍します。

$2x + y = 4$

$2x + y = b$

$2x + y = 4$

この連立方程式が一意解を持たないためには、$b=4$ である必要があります。

もし $b=4$ ならば、二つの式は同じ式を表すため、解は無数に存在します。

$2x + y = 4$

$y = 4 - 2x$

したがって、解は $x = t, y = 4 - 2t$ (ただし、$t$ は任意の実数) となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) $x = t, y = 4 - 2t$ (ただし、$t$ は任意の実数)