放物線 $y = -2x^2 + 5x$ を平行移動した曲線で、点 $(1, -3)$ を通り、頂点が放物線 $y = x^2 + 4$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2 + 5x$ を平行移動した曲線で、点 $(1, -3)$ を通り、頂点が放物線 $y = x^2 + 4$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 $y = -2x^2 + 5x$ を平方完成します。

$y = -2(x^2 - \frac{5}{2}x)$

$y = -2(x^2 - \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 - (\frac{5}{4})^2)$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + 2(\frac{25}{16})$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8}$

したがって、$y = -2x^2 + 5x$ の頂点は $(\frac{5}{4}, \frac{25}{8})$ です。

平行移動した放物線の式を $y = -2(x-p)^2 + q$ とおきます。

この放物線の頂点は $(p, q)$ であり、これが $y = x^2 + 4$ 上にあるので、

$q = p^2 + 4$ が成り立ちます。

したがって、求める放物線の式は $y = -2(x-p)^2 + p^2 + 4$ と表せます。

この放物線は点 $(1, -3)$ を通るので、

$-3 = -2(1-p)^2 + p^2 + 4$

$-3 = -2(1 - 2p + p^2) + p^2 + 4$

$-3 = -2 + 4p - 2p^2 + p^2 + 4$

$-3 = -p^2 + 4p + 2$

$p^2 - 4p - 5 = 0$

$(p-5)(p+1) = 0$

$p = 5, -1$

$p = 5$ のとき、$q = 5^2 + 4 = 29$ より、$y = -2(x-5)^2 + 29 = -2(x^2 - 10x + 25) + 29 = -2x^2 + 20x - 50 + 29 = -2x^2 + 20x - 21$

$p = -1$ のとき、$q = (-1)^2 + 4 = 5$ より、$y = -2(x+1)^2 + 5 = -2(x^2 + 2x + 1) + 5 = -2x^2 - 4x - 2 + 5 = -2x^2 - 4x + 3$

3. 最終的な答え

求める放物線の方程式は、

$y = -2x^2 + 20x - 21$ または $y = -2x^2 - 4x + 3$