実数 $a$ に対して、与えられた行列の階数を求め、階数が2となる $a$ が存在するかどうかを判定する問題です。行列は次の通りです。 $ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 4 & -1 \\ -1 & 1 & a & 2 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、与えられた行列の階数を求め、階数が2となる $a$ が存在するかどうかを判定する問題です。行列は次の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & 5 & -1 \\

1 & 2 & 4 & -1 \\

-1 & 2 & 4 & -1 \\

-1 & 1 & a & 2

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列の階数を求めるためには、行列を基本変形（行基本変形）によって簡約化し、0でない行の数を数えるのが一般的です。

(1) まず、行列の第1行と第2行を入れ替えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 4 & -1 \\

2 & 1 & 5 & -1 \\

-1 & 2 & 4 & -1 \\

-1 & 1 & a & 2

\end{pmatrix}

$$

(2) 次に、第2行から第1行の2倍を引き、第3行に第1行を足し、第4行に第1行を足します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 4 & -1 \\

0 & -3 & -3 & 1 \\

0 & 4 & 8 & -2 \\

0 & 3 & a+4 & 1

\end{pmatrix}

$$

(3) 第2行を $-\frac{1}{3}$ 倍します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 4 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -\frac{1}{3} \\

0 & 4 & 8 & -2 \\

0 & 3 & a+4 & 1

\end{pmatrix}

$$

(4) 第3行から第2行の4倍を引き、第4行から第2行の3倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 4 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -\frac{1}{3} \\

0 & 0 & 4 & -\frac{2}{3} \\

0 & 0 & a+1 & 2

\end{pmatrix}

$$

(5) 第3行を $\frac{1}{4}$ 倍します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 4 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -\frac{1}{3} \\

0 & 0 & 1 & -\frac{1}{6} \\

0 & 0 & a+1 & 2

\end{pmatrix}

$$

(6) 第4行から第3行の $(a+1)$ 倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 4 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -\frac{1}{3} \\

0 & 0 & 1 & -\frac{1}{6} \\

0 & 0 & 0 & 2 + \frac{a+1}{6}

\end{pmatrix}

$$

したがって、最終的な行列は次のようになります。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 4 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -\frac{1}{3} \\

0 & 0 & 1 & -\frac{1}{6} \\

0 & 0 & 0 & \frac{13+a}{6}

\end{pmatrix}

$$

行列の階数が2となるのは、0でない行が2つになる場合です。これは、上記の行列において、第3行と第4行がすべて0になる場合です。

第3行は常に0でないため、第4行が0になる必要があります。つまり、

$\frac{13+a}{6} = 0$

$13 + a = 0$

$a = -13$

このとき、第3行は0ではないので、階数は3となります。

階数が2となるためには、第3行と第4行がともに0である必要がありますが、それはあり得ません。したがって、階数が2となることはありません。

しかし、行列の階数が3になるのは、$a \ne -13$ のときです。もし $a = -13$ なら、行列の階数は3になります。

3. 最終的な答え

行列の階数は、

- $a = -13$ のとき、3

- $a \ne -13$ のとき、4

階数が2となることはない。