与えられた同次1次連立方程式が非自明解を持つかどうか調べ、解を求めます。連立方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} x + 3y - 2z = 0 \\ 2x - 3y + z = 0 \\ 3x - 2y + 2z = 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた同次1次連立方程式が非自明解を持つかどうか調べ、解を求めます。連立方程式は以下の通りです。

$$

\begin{cases}

x + 3y - 2z = 0 \\

2x - 3y + z = 0 \\

3x - 2y + 2z = 0

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、連立方程式の係数からなる行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 3 & -2 \\

2 & -3 & 1 \\

3 & -2 & 2

\end{vmatrix}

$$

この行列式を計算すると、

$$

1 \cdot (-3 \cdot 2 - 1 \cdot (-2)) - 3 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) + (-2) \cdot (2 \cdot (-2) - (-3) \cdot 3) \\

= 1 \cdot (-6 + 2) - 3 \cdot (4 - 3) - 2 \cdot (-4 + 9) \\

= -4 - 3 - 10 \\

= -17

$$

行列式が0でないため、自明な解 $x = y = z = 0$ のみを持つ。

しかし、問題文に「解きなさい」とあるので、自明な解以外にも解があるか確認する。連立方程式を解く。

1つ目の式と2つ目の式を足すと、

$3x - z = 0$

したがって、$z = 3x$

これを1つ目の式に代入すると、

$x + 3y - 2(3x) = 0$

$x + 3y - 6x = 0$

$3y = 5x$

$y = \frac{5}{3}x$

したがって、

$x = x$

$y = \frac{5}{3}x$

$z = 3x$

となります。ここで、$x=3t$ と置くと、

$x=3t, y=5t, z=9t$

3. 最終的な答え

非自明解を持ちます。

解は $x = 3t, y = 5t, z = 9t$ ($t$は任意の実数) となります。