行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$ を対角化し、さらに自然数 $n$ に対して $A^n$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$ を対角化し、さらに自然数 $n$ に対して $A^n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求めます。固有方程式は

$|A - \lambda I| = 0$

ここで $I$ は単位行列です。したがって、

$\begin{vmatrix} 3-\lambda & 5 \\ 5 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)^2 - 5^2 = \lambda^2 - 6\lambda + 9 - 25 = \lambda^2 - 6\lambda - 16 = (\lambda - 8)(\lambda + 2) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 8$ と $\lambda_2 = -2$ です。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 8$ のとき、$(A - 8I)v_1 = 0$ より

$\begin{bmatrix} -5 & 5 \\ 5 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-5x + 5y = 0$ より $x = y$。よって、固有ベクトル $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ （またはその定数倍）。

$\lambda_2 = -2$ のとき、$(A + 2I)v_2 = 0$ より

$\begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$5x + 5y = 0$ より $x = -y$。よって、固有ベクトル $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ （またはその定数倍）。

固有ベクトルを並べて行列 $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ を作り、このとき $P^{-1}AP = D = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$ となります。

$P^{-1}$ を計算します。$P$ の行列式は $|P| = -1 - 1 = -2$ なので、

$P^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix}$

$A = PDP^{-1}$ なので、$A^n = PD^nP^{-1}$ です。

$D^n = \begin{bmatrix} 8^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{bmatrix}$

$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8^n & (-2)^n \\ 8^n & -(-2)^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix}$

$A^n = \begin{bmatrix} \frac{8^n + (-2)^n}{2} & \frac{8^n - (-2)^n}{2} \\ \frac{8^n - (-2)^n}{2} & \frac{8^n + (-2)^n}{2} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

対角化: $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$

$A^n = \begin{bmatrix} \frac{8^n + (-2)^n}{2} & \frac{8^n - (-2)^n}{2} \\ \frac{8^n - (-2)^n}{2} & \frac{8^n + (-2)^n}{2} \end{bmatrix}$