公比が2、初項が1の等比数列 $\{a_n\}$ がある。 (1) 和 $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_n}$ を求めよ。 (2) 和 $\log_2 a_1 + \log_2 a_2 + \dots + \log_2 a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

公比が2、初項が1の等比数列 $\{a_n\}$ がある。

(1) 和 $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_n}$ を求めよ。

(2) 和 $\log_2 a_1 + \log_2 a_2 + \dots + \log_2 a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ は、初項が1、公比が2の等比数列なので、一般項は $a_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$ である。

したがって、$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{2^{n-1}}$ である。

求める和は、初項が $\frac{1}{a_1} = \frac{1}{1} = 1$ 、公比が $\frac{1}{2}$ の等比数列の和である。

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用いると、

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\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^{k-1}} = \frac{1 (1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} = 2 (1 - (\frac{1}{2})^n) = 2 - 2^{1-n}

$$$$

(2) $a_n = 2^{n-1}$ より、$\log_2 a_n = \log_2 (2^{n-1}) = (n-1) \log_2 2 = n-1$ である。

求める和は、

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\sum_{k=1}^n \log_2 a_k = \sum_{k=1}^n (k-1) = \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2-n}{2}

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_n} = 2 - 2^{1-n}$

(2) $\log_2 a_1 + \log_2 a_2 + \dots + \log_2 a_n = \frac{n^2 - n}{2}$