不等式 $x^2 - (a^2 - 2a + 1)x + a^2 - 2a < 0$ を満たす整数 $x$ が存在しないような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 - (a^2 - 2a + 1)x + a^2 - 2a < 0$ を満たす整数 $x$ が存在しないような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を因数分解する。

$a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$ なので、不等式は $x^2 - (a-1)^2x + a(a-2) < 0$ となる。

さらに因数分解を試みる。

$x^2 - (a-1)^2x + a(a-2) = (x-a)(x-(a-2)) < 0$.

したがって、$a-2 < a$ なので、この不等式を満たす $x$ の範囲は $a-2 < x < a$ である。

問題の条件は、この範囲に整数 $x$ が存在しないことである。

これは、$a - (a-2) \le 1$ のとき起こりうる。

整数 $x$ が存在しないのは、区間 $(a-2, a)$ の幅が1以下であるときに起こりうる。

区間 $(a-2, a)$ に整数が存在しない条件は、区間の端点の差が1以下であることと同値ではない。

$a$ が整数の場合、$a-1$ は整数なので、区間 $(a-2, a)$ には $a-1$ という整数が含まれるので、条件を満たさない。

区間 $(a-2, a)$ に整数が含まれない条件は、

$n \le a - 2 < a \le n+1$ となる整数 $n$ が存在することである。

言い換えると、$n \le a - 2$ かつ $a \le n + 1$ を満たす整数 $n$ が存在することである。

$a \le n+1$ より $a-1 \le n$ であるから、$a-1 \le n \le a - 2$ となる。

これは $a - 1 \le a - 2$ つまり $1 \le 0$ となり、矛盾する。

したがって、条件を満たすのは、区間の幅が0以下、すなわち、$a-2 \ge a$ の場合であり、これはありえない。

区間$(a-2, a)$内に整数が存在しないための条件を考える。区間長は2なので、区間内に整数が存在しないのはありえない。

もし区間が$[a-2, a]$であれば、条件を満たすことはありうる。

$a-2$と$a$の間に整数が存在しない条件は、

ある整数$n$を用いて、$a-2 \ge n$かつ$a \le n+1$を満たすことである。

したがって、$a-2 \ge n$より、$a \ge n+2$。

$a \le n+1$と合わせて、$n+2 \le a \le n+1$となる。

これは$n+2 \le n+1$なので、$2 \le 1$となり、矛盾である。

もしも、区間が$[a-2, a)$であれば、整数が存在しない条件は、ある整数$n$について、$a-2 \ge n$かつ$a < n+1$となる。

$a \ge n+2$と$a < n+1$が同時に成り立つことはないので矛盾。

もしも、区間が$(a-2, a]$であれば、整数が存在しない条件は、ある整数$n$について、$a-2 > n$かつ$a \le n+1$となる。

$a > n+2$と$a \le n+1$が同時に成り立つことはないので矛盾。

不等式を満たす整数 $x$ が存在しない必要十分条件は、$a-2$と$a$の間に整数が存在しないことである。これは$a - (a-2) \le 1$となることと同値ではない。

区間$(a-2, a)$の長さは2であるため、常に整数を含む。したがって条件を満たす$a$は存在しない。

3. 最終的な答え

存在しない