$a, b$ を正の実数とする。直線 $ax + by = 1$ と曲線 $y = -\frac{1}{x}$ の2つの交点のうち、$y$ 座標が正のものを $P$、負のものを $Q$ とする。また、直線 $ax + by = 1$ と $x$ 軸との交点を $R$、$y$ 軸との交点を $S$ とする。条件 $\frac{PQ}{RS} = \sqrt{2}$ を満たしながら $a, b$ が動くとき、線分 $PQ$ の中点の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ を正の実数とする。直線 $ax + by = 1$ と曲線 $y = -\frac{1}{x}$ の2つの交点のうち、$y$ 座標が正のものを $P$、負のものを $Q$ とする。また、直線 $ax + by = 1$ と $x$ 軸との交点を $R$、$y$ 軸との交点を $S$ とする。条件 $\frac{PQ}{RS} = \sqrt{2}$ を満たしながら $a, b$ が動くとき、線分 $PQ$ の中点の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直線 $ax + by = 1$ と曲線 $y = -\frac{1}{x}$ の交点を求める。

$y = -\frac{1}{x}$ を $ax + by = 1$ に代入すると、

$ax - \frac{b}{x} = 1$

$ax^2 - x - b = 0$

この2次方程式の解を $x_1, x_2$ とすると、$P(x_1, -\frac{1}{x_1}), Q(x_2, -\frac{1}{x_2})$となる。

解と係数の関係より、

$x_1 + x_2 = \frac{1}{a}$

$x_1 x_2 = -\frac{b}{a}$

$PQ = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2})^2} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (\frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2})^2} = |x_1 - x_2|\sqrt{1 + \frac{1}{(x_1 x_2)^2}}$

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = (\frac{1}{a})^2 + \frac{4b}{a} = \frac{1 + 4ab}{a^2}$

$PQ = \sqrt{\frac{1 + 4ab}{a^2}} \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{\frac{1 + 4ab}{a^2}} \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{b^2}} = \frac{\sqrt{(1 + 4ab)(a^2 + b^2)}}{ab}$

次に、$R$ と $S$ の座標を求める。

$R$ は $ax + by = 1$ と $y = 0$ の交点なので、$ax = 1$, $x = \frac{1}{a}$ より $R(\frac{1}{a}, 0)$

$S$ は $ax + by = 1$ と $x = 0$ の交点なので、$by = 1$, $y = \frac{1}{b}$ より $S(0, \frac{1}{b})$

$RS = \sqrt{(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{ab}$

$\frac{PQ}{RS} = \frac{\frac{\sqrt{(1 + 4ab)(a^2 + b^2)}}{ab}}{\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{ab}} = \sqrt{1 + 4ab} = \sqrt{2}$ より

$1 + 4ab = 2$

$4ab = 1$

$ab = \frac{1}{4}$

$PQ$ の中点を $(X, Y)$ とすると、

$X = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1}{2a}$

$Y = \frac{-\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}}{2} = \frac{-x_1 - x_2}{2x_1 x_2} = \frac{-\frac{1}{a}}{2(-\frac{b}{a})} = \frac{1}{2b}$

$X = \frac{1}{2a}$ より $a = \frac{1}{2X}$

$Y = \frac{1}{2b}$ より $b = \frac{1}{2Y}$

$ab = \frac{1}{4}$ に代入すると、

$\frac{1}{2X} \cdot \frac{1}{2Y} = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4XY} = \frac{1}{4}$

$XY = 1$

$P$ の $y$ 座標は正、$Q$ の $y$ 座標は負であるから、$x_1 > 0$ かつ $x_2 < 0$ である。

$x_1 x_2 = -\frac{b}{a} < 0$ は常に満たされている。

$X > 0, Y > 0$ である。

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{x} (x > 0)$