不等式 $x^2 - (a^2 - 2a + 1)x + a^2 - 2a < 0$ を満たす整数 $x$ が存在しないような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 - (a^2 - 2a + 1)x + a^2 - 2a < 0$ を満たす整数 $x$ が存在しないような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を因数分解します。

$x^2 - (a^2 - 2a + 1)x + a^2 - 2a < 0$

$x^2 - (a-1)^2 x + a(a-2) < 0$

$(x - a)(x - (a-2)) < 0$

よって、$a-2 < a$ なので、不等式の解は

$a - 2 < x < a$

この不等式を満たす整数 $x$ が存在しない条件を考えます。

もし $a$ が整数の場合、$a-2$ と $a$ の間の整数は $a-1$ のみなので、この不等式を満たす整数 $x$ が存在することになります。

$a$ が整数でない場合、区間 $(a-2, a)$ の幅は 2 です。この区間内に整数が含まれない条件は、区間の端点 $a-2$ と $a$ の間に整数が存在しないことです。

$a-2$ と $a$ の間に整数が存在しない条件は、ある整数 $n$ に対して、$n \le a-2$ かつ $a < n+1$ が成り立つか、あるいは $n < a-2$ かつ $a \le n+1$ が成り立つことです。

最初のケースでは、$n \le a-2$ と $a < n+1$ より、$n+2 \le a < n+1$ となります。これは矛盾します。

次のケースでは、$a-2$ と $a$ の間に整数が存在しない条件を、$a-2 \le n < a$ のように整数 $n$ を挟めば良いと考えることができます。

この不等式を変形すると、

$a-2 \le n$ より $a \le n+2$

$n < a$ より $n+2 > a$

よって、$n+2 > a > n$

区間 $(a-2, a)$ に整数が存在しない必要十分条件は、$a = n$ または $a = n+1$ (nは整数) の場合です。しかし、問題文の不等式を満たす整数xが存在しないため、aは整数ではありません。

区間 $(a-2, a)$ に整数が含まれない条件は、ある整数 $n$ に対して $n \le a-2 < a \le n+1$ が成り立つことです。このとき、$n+2 > a > n$ は成り立ちません。

整数 $x$ が存在しない条件は、$a-2$ と $a$ の間に整数が存在しないことです。

$a-2 < x < a$ が整数解を持たないということは、区間 $(a-2, a)$ の長さが 2 であるため、この区間が整数を含まないためには、$a-2$ および $a$ がともに整数にならないか、あるいは $a$ が整数の場合に $a-2$ と $a$ の間の整数が存在しないことが必要です。しかし、$a$ が整数の場合、必ず $a-1$ が整数解となるため不適です。

$a-2$ と $a$ の間に整数が存在しないためには、$n \le a-2 < a \le n+1$ となる整数 $n$ が存在する必要があります。

この時、$a - (a-2) = 2$ なので、この区間に整数が存在しないのは、区間幅が1以下の場合のみなので、$a-2$と$a$の差が1以下であることが必要です。

$a - (a-2) \le 1$

$2 \le 1$ となり矛盾。

$a - (a-2) = 2$ であり、区間内に整数解を持たない条件を考えると、 $a = n$ もしくは $a = n+1$ （$n$は整数）の場合を除く必要があります。$a=n$ であれば $x = n-1$ が解、$a = n+1$ であれば $x = n$ が解となり、いずれも解を持つため、該当しません。

$a-2$と$a$の間に整数が存在しないためには、$a-2<x<a$が整数解を持たないということは、ある整数nについて、$n \le a-2$かつ$a \le n+1$が成立する必要があります。

$n \le a-2 < a \le n+1$

$n+2 \le a \le n+1$となり、矛盾が生じます。

整数解を持たない条件から、区間の長さが2であるため、整数が1つもないということは、$n \le a-2 かつ a \le n+1$　もしくは $n < a < n+1$となるようにするには、区間の幅が1以下でなければなりません。しかし、この問題の場合、区間の幅は常に2なので、整数解が存在しないということはありません。

$a^2-2a<0$

$a(a-2)<0$

$0<a<2$

3. 最終的な答え

$0 \le a \le 2$