実数 $a$ に対して、与えられた行列の階数を求め、階数が 2 となる $a$ が存在するかどうかを調べます。行列は次の通りです。 $ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 4 & -1 \\ -1 & 1 & a & 2 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、与えられた行列の階数を求め、階数が 2 となる $a$ が存在するかどうかを調べます。行列は次の通りです。

$ \begin{pmatrix}

2 & 1 & 5 & -1 \\

1 & 2 & 4 & -1 \\

-1 & 2 & 4 & -1 \\

-1 & 1 & a & 2

\end{pmatrix} $

2. 解き方の手順

行列の階数を求めるために、基本変形（行基本変形）を使って行列を簡約化します。

1. 1行目と2行目を入れ替えます。

$ \begin{pmatrix}

1 & 2 & 4 & -1 \\

2 & 1 & 5 & -1 \\

-1 & 2 & 4 & -1 \\

-1 & 1 & a & 2

\end{pmatrix} $

2. 2行目を 2行目 - 2 * 1行目、3行目を 3行目 + 1行目、4行目を 4行目 + 1行目で置き換えます。

$ \begin{pmatrix}

1 & 2 & 4 & -1 \\

0 & -3 & -3 & 1 \\

0 & 4 & 8 & -2 \\

0 & 3 & a+4 & 1

\end{pmatrix} $

3. 2行目を -1/3 倍します。

$ \begin{pmatrix}

1 & 2 & 4 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -1/3 \\

0 & 4 & 8 & -2 \\

0 & 3 & a+4 & 1

\end{pmatrix} $

4. 3行目を 3行目 - 4 * 2行目、4行目を 4行目 - 3 * 2行目で置き換えます。

$ \begin{pmatrix}

1 & 2 & 4 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -1/3 \\

0 & 0 & 4 & -2/3 \\

0 & 0 & a+1 & 2

\end{pmatrix} $

5. 3行目を 1/4 倍します。

$ \begin{pmatrix}

1 & 2 & 4 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -1/3 \\

0 & 0 & 1 & -1/6 \\

0 & 0 & a+1 & 2

\end{pmatrix} $

6. 4行目を 4行目 - (a+1) * 3行目で置き換えます。

$ \begin{pmatrix}

1 & 2 & 4 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -1/3 \\

0 & 0 & 1 & -1/6 \\

0 & 0 & 0 & 2 + (a+1)/6

\end{pmatrix} $

7. 4行目を整理します。

$ \begin{pmatrix}

1 & 2 & 4 & -1 \\

0 & 1 & 1 & -1/3 \\

0 & 0 & 1 & -1/6 \\

0 & 0 & 0 & (13+a)/6

\end{pmatrix} $

この行列の階数は、ゼロでない行の数に等しくなります。

* $a \neq -13$ のとき、階数は 4 です。

* $a = -13$ のとき、階数は 3 です。

したがって、階数が 2 となる $a$ は存在しません。

3. 最終的な答え

行列の階数は、$a = -13$ のとき 3、それ以外のとき 4 です。階数が 2 となる $a$ は存在しません。

答え：階数は、$a = -13$ のとき3, $a \neq -13$ のとき4。階数が2となることはない。