問題は2つあります。 (1) 行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$ を対角化し、自然数 $n$ に対して $A^n$ を求める。 (2) 漸化式 $x_0 = x_1 = 3, x_{n+1} = x_n + 2x_{n-1} (n \ge 1)$ について、$x_n$ を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$ を対角化し、自然数 $n$ に対して $A^n$ を求める。

(2) 漸化式 $x_0 = x_1 = 3, x_{n+1} = x_n + 2x_{n-1} (n \ge 1)$ について、$x_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の対角化

まず、行列 $A$ の固有値を求める。

$det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(3-\lambda) - 25 = \lambda^2 - 6\lambda - 16 = (\lambda - 8)(\lambda + 2) = 0$

よって、固有値は $\lambda = 8, -2$ である。

次に、それぞれの固有値に対する固有ベクトルを求める。

$\lambda = 8$ のとき、

$\begin{bmatrix} 3-8 & 5 \\ 5 & 3-8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 5 \\ 5 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

よって、$x_1 = x_2$ となるので、固有ベクトルは $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ となる。

$\lambda = -2$ のとき、

$\begin{bmatrix} 3-(-2) & 5 \\ 5 & 3-(-2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

よって、$x_1 = -x_2$ となるので、固有ベクトルは $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ となる。

したがって、$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ とおくと、$P^{-1} A P = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$ となる。

$A = P \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} P^{-1}$ より、$A^n = P \begin{bmatrix} 8^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{bmatrix} P^{-1}$

$P^{-1} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ なので、

$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{bmatrix} \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 8^n + (-2)^n & 8^n - (-2)^n \\ 8^n - (-2)^n & 8^n + (-2)^n \end{bmatrix}$

(2) 漸化式の一般項

$x_{n+1} = x_n + 2x_{n-1}$ より、特性方程式は $t^2 - t - 2 = 0$

$(t - 2)(t + 1) = 0$ より、$t = 2, -1$

したがって、$x_n = c_1 2^n + c_2 (-1)^n$ とおける。

$x_0 = 3, x_1 = 3$ より、

$c_1 + c_2 = 3$

$2c_1 - c_2 = 3$

これを解くと、$c_1 = 2, c_2 = 1$

よって、$x_n = 2 \cdot 2^n + (-1)^n = 2^{n+1} + (-1)^n$

3. 最終的な答え

(1) $A^n = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 8^n + (-2)^n & 8^n - (-2)^n \\ 8^n - (-2)^n & 8^n + (-2)^n \end{bmatrix}$

(2) $x_n = 2^{n+1} + (-1)^n$