初項が $a_1 = 1$ であり、漸化式 $\frac{a_{n+1}}{a_{n+1} + 1} = \frac{a_n}{1+4na_n}$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と $\lim_{n\to\infty} n^2 a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

初項が $a_1 = 1$ であり、漸化式 $\frac{a_{n+1}}{a_{n+1} + 1} = \frac{a_n}{1+4na_n}$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と $\lim_{n\to\infty} n^2 a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を逆数で書き換えます。

$\frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}} = \frac{1+4na_n}{a_n}$

$1 + \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 4n$

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 4n - 1$

ここで $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、

$b_{n+1} = b_n + 4n - 1$

これは階差数列であるから、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 1)$

$b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{1} = 1$

$b_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 1) = 1 + 4\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$b_n = 1 + 4\cdot\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 1 + 2n(n-1) - (n-1) = 1 + 2n^2 - 2n - n + 1 = 2n^2 - 3n + 2$

よって、$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{2n^2 - 3n + 2}$

次に、$\lim_{n\to\infty} n^2 a_n$ を求めます。

$\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2n^2 - 3n + 2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{2n^2 - 3n + 2}$

$\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = \frac{1}{2}$