数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および漸化式 $\frac{a_{n+1}}{a_{n+1} + 1} = \frac{a_n}{1+4na_n}$ ($n = 1, 2, 3, ...$)によって定義されるとき、一般項 $a_n$ と $\lim_{n\to\infty} n^2 a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および漸化式 $\frac{a_{n+1}}{a_{n+1} + 1} = \frac{a_n}{1+4na_n}$ ($n = 1, 2, 3, ...$)によって定義されるとき、一般項 $a_n$ と $\lim_{n\to\infty} n^2 a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 漸化式を整理する。

$\frac{a_{n+1}}{a_{n+1} + 1} = \frac{a_n}{1+4na_n}$ の逆数をとると、

$\frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}} = \frac{1+4na_n}{a_n}$

$1 + \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 4n$

$\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 4n$

(2) $\frac{1}{a_n}$ の一般項を求める。

$\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 4n$ より、

$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + \sum_{k=1}^{n-1} 4k = \frac{1}{a_1} + 4\sum_{k=1}^{n-1} k$

$a_1 = 1$ より、$\frac{1}{a_1} = 1$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ なので、

$\frac{1}{a_n} = 1 + 4\frac{(n-1)n}{2} = 1 + 2n(n-1) = 1 + 2n^2 - 2n = 2n^2 - 2n + 1$

よって、

$a_n = \frac{1}{2n^2 - 2n + 1}$

(3) $\lim_{n\to\infty} n^2 a_n$ を求める。

$\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2n^2 - 2n + 1}$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2 - 0 + 0} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{2n^2 - 2n + 1}$

$\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = \frac{1}{2}$