与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ の逆行列が存在するかどうかを調べ、存在する場合は逆行列を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ の逆行列が存在するかどうかを調べ、存在する場合は逆行列を求める。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算し、逆行列が存在するかどうかを確認します。行列式が0でなければ、逆行列が存在します。

$|A| = 3(2\cdot3 - 1\cdot(-2)) - 2(1\cdot3 - 1\cdot1) + (-1)(1\cdot(-2) - 1\cdot2)$

$|A| = 3(6 + 2) - 2(3 - 1) - 1(-2 - 2)$

$|A| = 3(8) - 2(2) - 1(-4)$

$|A| = 24 - 4 + 4$

$|A| = 24$

行列式 $|A| = 24 \neq 0$ なので、逆行列 $A^{-1}$ は存在します。

次に、余因子行列を求めます。

$C_{11} = (2)(3) - (1)(-2) = 6 + 2 = 8$

$C_{12} = -(1\cdot3 - 1\cdot1) = -(3 - 1) = -2$

$C_{13} = (1)(-2) - (1)(2) = -2 - 2 = -4$

$C_{21} = -(2\cdot3 - (-1)(-2)) = -(6 - 2) = -4$

$C_{22} = (3\cdot3 - (-1)(1)) = 9 + 1 = 10$

$C_{23} = -(3(-2) - 2(1)) = -(-6 - 2) = 8$

$C_{31} = (2)(1) - (2)(-1) = 2 + 2 = 4$

$C_{32} = -(3(1) - (-1)(1)) = -(3 + 1) = -4$

$C_{33} = (3)(2) - (2)(1) = 6 - 2 = 4$

余因子行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix} 8 & -2 & -4 \\ -4 & 10 & 8 \\ 4 & -4 & 4 \end{bmatrix}$

転置行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix} 8 & -4 & 4 \\ -2 & 10 & -4 \\ -4 & 8 & 4 \end{bmatrix}$

逆行列 $A^{-1}$ は、転置行列を $|A|$ で割ったものです。

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} 8 & -4 & 4 \\ -2 & 10 & -4 \\ -4 & 8 & 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{24} \begin{bmatrix} 8 & -4 & 4 \\ -2 & 10 & -4 \\ -4 & 8 & 4 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{8}{24} & -\frac{4}{24} & \frac{4}{24} \\ -\frac{2}{24} & \frac{10}{24} & -\frac{4}{24} \\ -\frac{4}{24} & \frac{8}{24} & \frac{4}{24} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{12} & \frac{5}{12} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{12} & \frac{5}{12} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$