与えられた行列 $A$ の階数 $rank A$ を求める問題です。 行列 $A$ は以下の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 2 & 9 \\ 4 & 5 & 1 & -6 & -3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の階数 $rank A$ を求める問題です。

行列 $A$ は以下の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 2 & 9 \\ 4 & 5 & 1 & -6 & -3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数を求めるには、基本変形（行基本変形または列基本変形）を行って、階段行列（または簡約階段行列）に変形し、0でない行の数を数える方法があります。ここでは行基本変形を用いて計算します。

まず、1行目を2で割る操作を行います。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 3 & 5 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 2 & 9 \\ 4 & 5 & 1 & -6 & -3 \end{pmatrix}$

次に、2行目から1行目の3倍、3行目から1行目の3倍、4行目から1行目の4倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 3 & \frac{5}{2} \\ 0 & - \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & 2 & \frac{15}{2} \\ 0 & -1 & -1 & -6 & -5 \end{pmatrix}$

次に、2行目を2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 & 6 & 5 \\ 0 & - \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & 2 & \frac{15}{2} \\ 0 & -1 & -1 & -6 & -5 \end{pmatrix}$

次に、3行目に2行目の$\frac{7}{2}$倍を足し、4行目に2行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 3 & 23 & 25 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

最後に、3行目を3で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{23}{3} & \frac{25}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

0でない行は3行なので、階数は3です。

3. 最終的な答え

$rank A = 3$