$A \in M_2(\mathbb{R})$ に対して、$A^2 = 0$ を満たす $A$ を全て求める。

1. 問題の内容

$A \in M_2(\mathbb{R})$ に対して、$A^2 = 0$ を満たす $A$ を全て求める。

2. 解き方の手順

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とおく。$A^2 = 0$ より、

$$A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

したがって、以下の連立方程式を得る。

\begin{align} \label{eq:1} a^2 + bc &= 0 \\ ab + bd &= 0 \\ ac + cd &= 0 \\ bc + d^2 &= 0 \end{align}

(2)より、$b(a+d) = 0$。

(3)より、$c(a+d) = 0$。

場合分けして考える。

(i) $a+d \neq 0$ のとき、$b = c = 0$ となる。

(1)より、$a^2 = 0$ なので $a = 0$。

(4)より、$d^2 = 0$ なので $d = 0$。

これは $a+d \neq 0$ に矛盾するので、この場合は起こりえない。

(ii) $a+d = 0$ のとき、$d = -a$となる。

(1)より、$bc = -a^2$。

したがって、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ であり、$bc = -a^2$ を満たす。

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ を代入して確かめる。

$$A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & ab-ab \\ ac-ac & bc+a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & 0 \\ 0 & bc+a^2 \end{pmatrix}$$

$A^2 = 0$ より、$a^2+bc = 0$。すなわち、$bc = -a^2$。

3. 最終的な答え

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$, ただし、$a,b,c \in \mathbb{R}$ であり、$a^2 + bc = 0$ を満たす。

言い換えると、$bc = -a^2$。

例えば、$a=0$ なら $bc=0$ なので、$A = \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ または $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}$ または $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ となる。

また、$a=1$ なら $bc=-1$ なので、$A = \begin{pmatrix} 1 & b \\ -1/b & -1 \end{pmatrix}$ となる。