$ {}_nC_r:{}_nC_{r+1}:{}_nC_{r+2} = 1:2:3 $ を満たす整数の組 $(n, r)$ を求める。ただし、$n \ge r+2$ かつ $r \ge 0$ とする。

1. 問題の内容

${}_nC_r:{}_nC_{r+1}:{}_nC_{r+2} = 1:2:3$ を満たす整数の組 $(n, r)$ を求める。ただし、$n \ge r+2$ かつ $r \ge 0$ とする。

2. 解き方の手順

与えられた連比から、以下の2つの式が得られる。

$\frac{{}_nC_{r+1}}{{}_nC_r} = 2$

$\frac{{}_nC_{r+2}}{{}_nC_{r+1}} = \frac{3}{2}$

これらの式をそれぞれ計算する。

まず、

$\frac{{}_nC_{r+1}}{{}_nC_r} = \frac{\frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}}{\frac{n!}{r!(n-r)!}} = \frac{r!(n-r)!}{(r+1)!(n-r-1)!} = \frac{n-r}{r+1}$

したがって、$\frac{n-r}{r+1} = 2$ より $n-r = 2(r+1)$ すなわち $n = 3r+2$ が得られる。

次に、

$\frac{{}_nC_{r+2}}{{}_nC_{r+1}} = \frac{\frac{n!}{(r+2)!(n-r-2)!}}{\frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}} = \frac{(r+1)!(n-r-1)!}{(r+2)!(n-r-2)!} = \frac{n-r-1}{r+2}$

したがって、$\frac{n-r-1}{r+2} = \frac{3}{2}$ より $2(n-r-1) = 3(r+2)$ すなわち $2n-2r-2 = 3r+6$ が得られる。

$n = 3r+2$ を $2n-2r-2 = 3r+6$ に代入すると、

$2(3r+2) - 2r - 2 = 3r + 6$

$6r + 4 - 2r - 2 = 3r + 6$

$4r + 2 = 3r + 6$

$r = 4$

$r = 4$ を $n = 3r+2$ に代入すると、

$n = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14$

したがって、$(n, r) = (14, 4)$

3. 最終的な答え

$(n, r) = (14, 4)$