与えられた連立一次方程式を解き、$x, y, z$ をパラメータ $s$ を用いて表す問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & -3 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、$x, y, z$ をパラメータ $s$ を用いて表す問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & -3 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式を解くために、拡大係数行列を作成し、行基本変形を用いて簡約化します。

拡大係数行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & -3 & -7 & 0 \end{bmatrix}$

まず、1行目を-1/2倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 1/2 & 0 \\ -1 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & -3 & -7 & 0 \end{bmatrix}$

次に、2行目に1行目を足し、3行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 & -3/2 & 0 \\ 0 & -5/2 & -15/2 & 0 \end{bmatrix}$

2行目を-2倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & -5/2 & -15/2 & 0 \end{bmatrix}$

3行目に2行目の5/2倍を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目に2行目の1/2倍を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

したがって、連立一次方程式は次のようになります。

$x + 2z = 0$

$y + 3z = 0$

$z = s$ (sは任意の実数)とおくと、$x = -2s$、$y = -3s$となります。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}$