与えられた行列を階段行列に変形する問題です。具体的には、以下の2つの行列を階段行列に変形します。 (1) $\begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 3 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & -9 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ -1 & -3 & 7 \\ 5 & 12 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列を階段行列に変形する問題です。具体的には、以下の2つの行列を階段行列に変形します。

(1)

$\begin{pmatrix}

-1 & 1 & -2 \\

3 & -2 & 1 \\

-2 & 3 & -9

\end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 5 \\

-1 & -3 & 7 \\

5 & 12 & 1

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列を階段行列に変形するには、基本行列変形（行基本変形）を行います。行基本変形とは、以下の3つの操作のことです。

1. ある行を定数倍する。

2. ある行に別の行の定数倍を加える。

3. 2つの行を入れ替える。

(1) の行列の階段行列への変形

まず、1行目を-1倍します。

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 \\

3 & -2 & 1 \\

-2 & 3 & -9

\end{pmatrix}$

次に、2行目から1行目の3倍を引きます。また、3行目に1行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 \\

0 & 1 & -5 \\

0 & 1 & -5

\end{pmatrix}$

最後に、3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 \\

0 & 1 & -5 \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

これが階段行列です。

(2) の行列の階段行列への変形

まず、2行目に1行目を加えます。また、3行目から1行目の5倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 5 \\

0 & -1 & 12 \\

0 & 2 & -24

\end{pmatrix}$

次に、2行目を-1倍します。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 5 \\

0 & 1 & -12 \\

0 & 2 & -24

\end{pmatrix}$

最後に、3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 5 \\

0 & 1 & -12 \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

これが階段行列です。

3. 最終的な答え

(1) の階段行列:

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 \\

0 & 1 & -5 \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

(2) の階段行列:

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 5 \\

0 & 1 & -12 \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$