関数 $y = x^2 - 4ax$ (定義域は $0 \le x \le 2$) の最小値を、以下の3つの場合についてそれぞれ求めます。 (1) $a < 0$ (2) $0 \le a < 1$ (3) $1 \le a$

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 4ax$ (定義域は $0 \le x \le 2$) の最小値を、以下の3つの場合についてそれぞれ求めます。

(1) $a < 0$

(2) $0 \le a < 1$

(3) $1 \le a$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4ax = (x - 2a)^2 - 4a^2$

このグラフは下に凸な放物線で、軸は $x = 2a$ です。 定義域は $0 \le x \le 2$ です。

最小値は、軸が定義域の中にあるか、定義域の両端にあるかで変わります。

(1) $a < 0$ のとき

軸 $x = 2a$ は $2a < 0$ であり、定義域 $0 \le x \le 2$ の左側にあります。したがって、定義域内で $x$ が大きくなるほど $y$ の値は大きくなります。つまり、最小値は $x = 0$ のときです。

$y(0) = 0^2 - 4a \cdot 0 = 0$

(2) $0 \le a < 1$ のとき

軸 $x = 2a$ は $0 \le 2a < 2$ であり、定義域 $0 \le x \le 2$ の中にあります。このとき、頂点が定義域の中にあるので、最小値は頂点の $y$ 座標です。

$y(2a) = (2a)^2 - 4a(2a) = 4a^2 - 8a^2 = -4a^2$

(3) $1 \le a$ のとき

軸 $x = ＝ 2a$ は $2 \le 2a$ であり、定義域 $0 \le x \le 2$ の右側にあります。したがって、定義域内で $x$ が小さくなるほど $y$ の値は大きくなります。つまり、最小値は $x = 2$ のときです。

$y(2) = 2^2 - 4a \cdot 2 = 4 - 8a$

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$ のとき、最小値は $0$

(2) $0 \le a < 1$ のとき、最小値は $-4a^2$

(3) $1 \le a$ のとき、最小値は $4 - 8a$