与えられた連立一次方程式を解き、$s$ をパラメータとする解を求めます。連立一次方程式は $ \begin{bmatrix} -3 & 9 & 10 \\ 1 & -3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 0 \end{bmatrix} $ で与えられています。解はベクトル形式 $ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} d \\ e \\ f \end{bmatrix} $ で表されます。ここで $a, b, c, d, e, f$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、$s$ をパラメータとする解を求めます。連立一次方程式は

$$

\begin{bmatrix}

-3 & 9 & 10 \\

1 & -3 & -1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x \\ y \\ z

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

7 \\ 0

\end{bmatrix}

$$

で与えられています。解はベクトル形式

$$

\begin{bmatrix}

x \\ y \\ z

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

a \\ b \\ c

\end{bmatrix}

+ s

\begin{bmatrix}

d \\ e \\ f

\end{bmatrix}

$$

で表されます。ここで $a, b, c, d, e, f$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、拡大係数行列を作成します。

$$

\begin{bmatrix}

-3 & 9 & 10 & 7 \\

1 & -3 & -1 & 0

\end{bmatrix}

$$

次に、行基本変形を行って階段行列にします。

1行目と2行目を入れ替えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -3 & -1 & 0 \\

-3 & 9 & 10 & 7

\end{bmatrix}

$$

2行目に1行目の3倍を加えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -3 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 7 & 7

\end{bmatrix}

$$

2行目を7で割ります。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -3 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 1

\end{bmatrix}

$$

1行目に2行目を加えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -3 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1

\end{bmatrix}

$$

この行列は、連立一次方程式に対応します。

$$

x - 3y = 1 \\

z = 1

$$

したがって、$z = 1$ であり、$x = 3y + 1$ となります。$y$ をパラメータ $s$ とすると、$y = s$ です。よって、$x = 3s + 1$ となります。したがって、解は以下のようになります。

$$

\begin{bmatrix}

x \\ y \\ z

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

3s + 1 \\ s \\ 1

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

1 \\ 0 \\ 1

\end{bmatrix}

+ s

\begin{bmatrix}

3 \\ 1 \\ 0

\end{bmatrix}

$$

3. 最終的な答え

解は

$$

\begin{bmatrix}

x \\ y \\ z

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

1 \\ 0 \\ 1

\end{bmatrix}

+ s

\begin{bmatrix}

3 \\ 1 \\ 0

\end{bmatrix}

$$

です。