与えられた6つの対数関数について、定義域を求める問題。 それぞれの関数は以下の通りです。 (1) $y = \log(5x - 1)$ (2) $y = \log((x + 2)(x - 4))$ (3) $y = \log(\frac{x + 2}{x})$ (4) $y = \log_4(4x)$ (5) $y = \log(\sqrt{x^2 + 2})$ (6) $y = \log(|\sin x|)$

1. 問題の内容

与えられた6つの対数関数について、定義域を求める問題。

それぞれの関数は以下の通りです。

(1) $y = \log(5x - 1)$

(2) $y = \log((x + 2)(x - 4))$

(3) $y = \log(\frac{x + 2}{x})$

(4) $y = \log_4(4x)$

(5) $y = \log(\sqrt{x^2 + 2})$

(6) $y = \log(|\sin x|)$

2. 解き方の手順

対数関数 $\log_a(x)$ が定義される条件は、$a > 0$, $a \ne 1$, $x > 0$ です。この条件を各関数に適用して定義域を求めます。

(1) $y = \log(5x - 1)$ の場合、真数が正である必要があるので、$5x - 1 > 0$ を満たす必要があります。

$5x > 1$

$x > \frac{1}{5}$

(2) $y = \log((x + 2)(x - 4))$ の場合、真数が正である必要があるので、 $(x + 2)(x - 4) > 0$ を満たす必要があります。

$x < -2$ または $x > 4$

(3) $y = \log(\frac{x + 2}{x})$ の場合、真数が正である必要があるので、 $\frac{x + 2}{x} > 0$ を満たす必要があります。

$x > 0$ かつ $x + 2 > 0$ または $x < 0$ かつ $x + 2 < 0$

$x > 0$ または $x < -2$

(4) $y = \log_4(4x)$ の場合、真数が正である必要があるので、$4x > 0$ を満たす必要があります。

$x > 0$

(5) $y = \log(\sqrt{x^2 + 2})$ の場合、真数が正である必要があるので、$\sqrt{x^2 + 2} > 0$ を満たす必要があります。

$x^2 + 2 > 0$ これは常に成立します。したがって、すべての実数 $x$ で定義されます。

(6) $y = \log(|\sin x|)$ の場合、真数が正である必要があるので、$|\sin x| > 0$ を満たす必要があります。

$\sin x \neq 0$

$x \neq n\pi$, $n$は整数

3. 最終的な答え

(1) $x > \frac{1}{5}$

(2) $x < -2$ または $x > 4$

(3) $x > 0$ または $x < -2$

(4) $x > 0$

(5) 全ての実数

(6) $x \neq n\pi$, $n$は整数