与えられた連立一次方程式を解き、解をパラメータ $s$ と $t$ を用いて表す問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -3 & 0 & 4 \\ -1 & -1 & 2 & 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}$ 解は、特定のベクトルとパラメータ $s$ および $t$ に依存する2つのベクトルの線形結合として表される形式で求められます。 $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} f \\ g \\ h \\ i \\ j \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} k \\ l \\ m \\ n \\ o \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、解をパラメータ $s$ と $t$ を用いて表す問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -3 & 0 & 4 \\ -1 & -1 & 2 & 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}$

解は、特定のベクトルとパラメータ $s$ および $t$ に依存する2つのベクトルの線形結合として表される形式で求められます。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} f \\ g \\ h \\ i \\ j \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} k \\ l \\ m \\ n \\ o \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式を行列形式で表し、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 & | & -2 \\ 2 & 1 & -3 & 0 & 4 & | & -3 \\ -1 & -1 & 2 & 3 & -4 & | & 2 \end{bmatrix}$

この拡大係数行列を簡約階段形に変形します。

まず、2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 & | & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\ -1 & -1 & 2 & 3 & -4 & | & 2 \end{bmatrix}$

次に、3行目に1行目を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 & | & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 & -2 & | & 0 \end{bmatrix}$

次に、3行目に2行目を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 & | & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -2 & | & 1 \end{bmatrix}$

3行目を4で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 & | & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1/2 & | & 1/4 \end{bmatrix}$

1行目に3行目を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 3/2 & | & -7/4 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1/2 & | & 1/4 \end{bmatrix}$

2行目から3行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 3/2 & | & -7/4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & | & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1/2 & | & 1/4 \end{bmatrix}$

これで簡約階段形になりました。

$x_3 = s$ および $x_5 = t$ とします。

すると、$x_1 = -7/4 + s - (3/2)t$, $x_2 = 1/2 + s - t$, $x_4 = 1/4 + (1/2)t$ となります。

したがって、解は次のようになります。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7/4 \\ 1/2 \\ 0 \\ 1/4 \\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -3/2 \\ -1 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7/4 \\ 1/2 \\ 0 \\ 1/4 \\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -3/2 \\ -1 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1 \end{bmatrix}$