与えられた連立一次方程式の解を、$s$ と $t$ をパラメータとする形で表す問題です。 連立一次方程式は次の通りです。 $\begin{bmatrix} 1 & -8 & 5 & 6 & -23 \\ 1 & -4 & 0 & 1 & -12 \\ -1 & 4 & 4 & 3 & 16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ この解を、以下の形式で求めます。 $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} \\ \\ \\ \\ \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} \\ \\ \\ \\ \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を、$s$ と $t$ をパラメータとする形で表す問題です。

連立一次方程式は次の通りです。

$\begin{bmatrix} 1 & -8 & 5 & 6 & -23 \\ 1 & -4 & 0 & 1 & -12 \\ -1 & 4 & 4 & 3 & 16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この解を、以下の形式で求めます。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} \\ \\ \\ \\ \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} \\ \\ \\ \\ \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた係数行列を簡約化します。

$\begin{bmatrix} 1 & -8 & 5 & 6 & -23 \\ 1 & -4 & 0 & 1 & -12 \\ -1 & 4 & 4 & 3 & 16 \end{bmatrix}$

1行目を基準に2行目から1行目を引くと、

$\begin{bmatrix} 1 & -8 & 5 & 6 & -23 \\ 0 & 4 & -5 & -5 & 11 \\ -1 & 4 & 4 & 3 & 16 \end{bmatrix}$

1行目を基準に3行目に1行目を加えると、

$\begin{bmatrix} 1 & -8 & 5 & 6 & -23 \\ 0 & 4 & -5 & -5 & 11 \\ 0 & -4 & 9 & 9 & -7 \end{bmatrix}$

2行目を基準に3行目に2行目を加えると、

$\begin{bmatrix} 1 & -8 & 5 & 6 & -23 \\ 0 & 4 & -5 & -5 & 11 \\ 0 & 0 & 4 & 4 & 4 \end{bmatrix}$

3行目を4で割ると、

$\begin{bmatrix} 1 & -8 & 5 & 6 & -23 \\ 0 & 4 & -5 & -5 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

3行目を基準に2行目に5倍した3行目を加えると、

$\begin{bmatrix} 1 & -8 & 5 & 6 & -23 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 16 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

2行目を4で割ると、

$\begin{bmatrix} 1 & -8 & 5 & 6 & -23 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

2行目を基準に1行目に8倍した2行目を加えると、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 & 6 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

3行目を基準に1行目から5倍した3行目を引くと、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

したがって、$x_4 = s$ および $x_5 = t$ とすると、

$x_1 = -s - 4t$

$x_2 = -4t$

$x_3 = -s - t$

$x_4 = s$

$x_5 = t$

したがって、解は

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -4 \\ -4 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -4 \\ -4 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$