SENSEI AI
About App

与えられた連立一次方程式を解き、解を2つのパラメータ $s$ と $t$ を用いて表す問題です。方程式は行列形式で与えられています。 $ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -3 & 0 & 4 \\ -1 & -1 & 2 & 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix} $ 解は以下の形式で表現されます。 $ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} f \\ g \\ h \\ i \\ j \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} k \\ l \\ m \\ n \\ o \end{bmatrix} $ ここで $a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o$ は定数です。

代数学連立一次方程式線形代数行列簡約化パラメータ表示
2025/6/13

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、解を2つのパラメータ ss と tt を用いて表す問題です。方程式は行列形式で与えられています。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & 2 \\
2 & 1 & -3 & 0 & 4 \\
-1 & -1 & 2 & 3 & -4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-2 \\ -3 \\ 2
\end{bmatrix}
解は以下の形式で表現されます。
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a \\ b \\ c \\ d \\ e
\end{bmatrix}
+ s
\begin{bmatrix}
f \\ g \\ h \\ i \\ j
\end{bmatrix}
+ t
\begin{bmatrix}
k \\ l \\ m \\ n \\ o
\end{bmatrix}
ここで a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,oa, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o は定数です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた拡大係数行列を簡約化します。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & 2 & | & -2 \\
2 & 1 & -3 & 0 & 4 & | & -3 \\
-1 & -1 & 2 & 3 & -4 & | & 2
\end{bmatrix}
2行目から1行目の2倍を引きます。
3行目に1行目を加えます。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & 2 & | & -2 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\
0 & -1 & 1 & 2 & -2 & | & 0
\end{bmatrix}
3行目に2行目を加えます。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & 2 & | & -2 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\
0 & 0 & 0 & 4 & -2 & | & 1
\end{bmatrix}
3行目を4で割ります。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & 2 & | & -2 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1/2 & | & 1/4
\end{bmatrix}
1行目に3行目を加えます。
2行目から3行目の2倍を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 & 3/2 & | & -7/4 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 1 & | & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1/2 & | & 1/4
\end{bmatrix}
x3=sx_3=s , x5=tx_5 = t とおきます。すると、
x1−x3+32x5=−74x_1 - x_3 + \frac{3}{2}x_5 = -\frac{7}{4}
x2−x3+x5=12x_2 - x_3 + x_5 = \frac{1}{2}
x4−12x5=14x_4 - \frac{1}{2}x_5 = \frac{1}{4}
したがって、
x1=s−32t−74x_1 = s - \frac{3}{2}t - \frac{7}{4}
x2=s−t+12x_2 = s - t + \frac{1}{2}
x3=sx_3 = s
x4=12t+14x_4 = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}
x5=tx_5 = t
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-7/4 \\ 1/2 \\ 0 \\ 1/4 \\ 0
\end{bmatrix}
+ s
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}
+ t
\begin{bmatrix}
-3/2 \\ -1 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1
\end{bmatrix}

3. 最終的な答え

```
[
-7/4
1/2
0
1/4
0
]
+ s
[
1
1
1
0
0
]
+ t
[
-3/2
-1
0
1/2
1
]
```

「代数学」の関連問題

与えられた二次方程式 $x^2 - 5x - 14 = 0$ を解きます。

二次方程式因数分解解の公式
2025/6/13

与えられた数式を簡単にせよという問題です。数式は次の通りです。 $\frac{10a^4 + 16a^3 + 6a^2 + 6a + 10}{a^4 + 2a^2 + 1}$

分数式の簡約因数分解多項式
2025/6/13

関数 $y = x^2 - 4ax$ (定義域は $0 \le x \le 2$) の最小値を、以下の3つの場合についてそれぞれ求めます。 (1) $a < 0$ (2) $0 \le a < 1$ ...

二次関数平方完成最小値定義域場合分け
2025/6/13

与えられた2次方程式 $x^2 + 3x + 2 = 0$ の解を求めます。

二次方程式因数分解解の公式
2025/6/13

与えられた方程式 $x^2 = 2$ を解き、$x$の値を求めます。

方程式平方根二次方程式
2025/6/13

重さ400gの箱に、1個200gの品物を $x$ 個入れたとき、全体の重さを5000g以下にしたい。品物を何個まで入れられるかを求める問題です。与えられた不等式は $200x + 400 \le 50...

不等式一次不等式文章問題
2025/6/13

与えられた2つの行列を階段行列に変形します。 (1) $\begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 3 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & -9 \end{pmatrix}$ ...

線形代数行列階段行列ガウスの消去法
2025/6/13

与えられた不等式 $0.7x + 0.4 < 0.5x + 1$ を解いて、$x$ の範囲を求める。

不等式一次不等式計算
2025/6/13

与えられた行列を階段行列に変形する問題です。具体的には、以下の2つの行列を階段行列に変形します。 (1) $\begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 3 & -2 & 1 \\ -...

線形代数行列階段行列行基本変形
2025/6/13

与えられた2次式 $25x^2 - 20x + 4$ を因数分解せよ。

因数分解二次式完全平方式
2025/6/13