与えられた連立一次方程式の解を求め、パラメータ $s$ と $t$ を用いて一般解を表現する問題です。連立一次方程式は、行列形式で以下のように与えられています。 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -3 & 0 & 4 \\ -1 & -2 & 3 & -3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \\ -2 \end{bmatrix}$ 解は、次の形式で記述されます。 $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \\ \\ \\ \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} \\ \\ \\ \\ \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} \\ \\ \\ \\ \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を求め、パラメータ $s$ と $t$ を用いて一般解を表現する問題です。連立一次方程式は、行列形式で以下のように与えられています。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -3 & 0 & 4 \\ -1 & -2 & 3 & -3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \\ -2 \end{bmatrix}$

解は、次の形式で記述されます。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \\ \\ \\ \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} \\ \\ \\ \\ \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} \\ \\ \\ \\ \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

ステップ1: 拡大係数行列を作成する

与えられた連立一次方程式を行列形式で表し、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 & | & -2 \\ 2 & 1 & -3 & 0 & 4 & | & -3 \\ -1 & -2 & 3 & -3 & -4 & | & -2 \end{bmatrix}$

ステップ2: 行基本変形を実行する

拡大係数行列を簡約階段形に変形するために、行基本変形を行います。

まず、2行目から1行目の2倍を引き、3行目に1行目を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 & | & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\ 0 & -2 & 2 & -4 & -2 & | & -4 \end{bmatrix}$

次に、3行目に2行目の2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 & | & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & | & -2 \end{bmatrix}$

3行目を $-2$ で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 2 & | & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}$

1行目から3行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & | & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}$

ステップ3: 解をパラメータ表示する

簡約階段形から、次の方程式が得られます。

$x_1 - x_3 - x_4 = -4$

$x_2 - x_3 + 2x_4 = 1$

$x_5 = 1$

$x_3 = s$、$x_4 = t$ とおくと、$x_1 = s + t - 4$、$x_2 = s - 2t + 1$ となります。

したがって、解は次のようになります。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$