与えられた連立一次方程式の解を求め、パラメータ $s$ と $t$ を用いた形で表現せよ。連立一次方程式は以下の通りです。 $ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 9 \\ 1 & -1 & 1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $ 解は以下の形式で表す必要があります。 $ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} e \\ f \\ g \\ h \end{bmatrix} $ ここで、$a, b, c, d, e, f, g, h$ は定数です。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を求め、パラメータ $s$ と $t$ を用いた形で表現せよ。連立一次方程式は以下の通りです。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 9 \\ 1 & -1 & 1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

解は以下の形式で表す必要があります。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} e \\ f \\ g \\ h \end{bmatrix}$

ここで、$a, b, c, d, e, f, g, h$ は定数です。

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 9 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 5 & 0 \end{bmatrix}$

(2) 行基本変形を行い、階段行列に変形します。2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & 0 \end{bmatrix}$

(3) 1行目に2行目の2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & 0 \end{bmatrix}$

(4) これより、$x_1, x_2$ を $x_3, x_4$ で表すことができます。

$x_1 + 2x_3 + x_4 = 0 \implies x_1 = -2x_3 - x_4$

$x_2 + x_3 - 4x_4 = 0 \implies x_2 = -x_3 + 4x_4$

(5) 解ベクトルは以下のようになります。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2x_3 - x_4 \\ -x_3 + 4x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

(6) $x_3 = s$, $x_4 = t$ と置くと、以下のようになります。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$