$x$ の不等式 $\sqrt{-2x+4} \ge ax-1$ について、以下の問いに答えます。 (1) $a=-1$ のとき、不等式を解きます。 (2) 不等式の解が $x \le 2$ となるような $a$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$x$ の不等式 $\sqrt{-2x+4} \ge ax-1$ について、以下の問いに答えます。

(1) $a=-1$ のとき、不等式を解きます。

(2) 不等式の解が $x \le 2$ となるような $a$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a=-1$ のとき、不等式は $\sqrt{-2x+4} \ge -x-1$ となります。

まず、根号の中身が0以上になる条件 $-2x+4 \ge 0$ より、$x \le 2$ です。

次に、場合分けを行います。

(i) $-x-1 < 0$、つまり $x > -1$ のとき、$\sqrt{-2x+4} \ge -x-1$ は常に成り立ちます。

$x \le 2$ と $x > -1$ を合わせて、$-1 < x \le 2$ です。

(ii) $-x-1 \ge 0$、つまり $x \le -1$ のとき、両辺を2乗して

$-2x+4 \ge (-x-1)^2$

$-2x+4 \ge x^2+2x+1$

$x^2+4x-3 \le 0$

$x^2+4x-3 = 0$ の解は $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16+12}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = -2 \pm \sqrt{7}$ なので、

$-2 - \sqrt{7} \le x \le -2 + \sqrt{7}$

ここで、$x \le -1$ と $-2-\sqrt{7} \le x \le -2+\sqrt{7}$ を合わせると、$-2-\sqrt{7} \le x \le -1$ となります。

(i), (ii) を合わせて、$-2-\sqrt{7} \le x \le 2$ が解となります。

(2) $\sqrt{-2x+4} \ge ax-1$ について、解が $x \le 2$ となるような $a$ の範囲を求めます。

$\sqrt{-2x+4} \ge ax-1$ が定義されるためには $-2x+4 \ge 0$ より $x \le 2$ です。

したがって、$x \le 2$ の範囲で不等式が常に成り立つような $a$ を求めます。

$x=2$ のとき $\sqrt{-2(2)+4} \ge 2a-1$ より $0 \ge 2a-1$, よって $a \le \frac{1}{2}$

$ax-1 < 0$ のとき、不等式は常に成り立つので、 $x \le \frac{1}{a}$ であれば不等式は成り立ちます。したがって、$x \le 2$ が解であるためには $\frac{1}{a} \ge 2$ でなければなりません。

これは $a \le \frac{1}{2}$ を満たします。

$ax-1 \ge 0$ のとき、両辺を2乗して

$-2x+4 \ge (ax-1)^2$

$-2x+4 \ge a^2x^2 -2ax + 1$

$a^2x^2 + (2-2a)x - 3 \le 0$

この不等式の解が $x \le 2$ であるためには、$a^2x^2 + (2-2a)x - 3 = 0$ の解が $x = 2$ である必要があります。

したがって、

$4a^2 + 2(2-2a) -3 = 0$

$4a^2+4-4a-3=0$

$4a^2-4a+1=0$

$(2a-1)^2 = 0$

$a = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $-2-\sqrt{7} \le x \le 2$

(2) $a = \frac{1}{2}$