複素数 $a$ について、$|a| = 1$ のとき、$a^4 + \frac{1}{a^4}$ が実数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

複素数 $a$ について、$|a| = 1$ のとき、$a^4 + \frac{1}{a^4}$ が実数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

$|a| = 1$ であることから、$a \overline{a} = 1$ が成り立ちます。したがって、$\overline{a} = \frac{1}{a}$ となります。

複素数 $z$ が実数であるための必要十分条件は、$z = \overline{z}$ であることです。したがって、$a^4 + \frac{1}{a^4}$ が実数であることを示すには、

$$a^4 + \frac{1}{a^4} = \overline{a^4 + \frac{1}{a^4}}$$

を示す必要があります。

複素数の和と積の共役は、それぞれ共役の和と共役の積に等しいことから、

$$\overline{a^4 + \frac{1}{a^4}} = \overline{a^4} + \overline{\left( \frac{1}{a^4} \right)} = (\overline{a})^4 + \frac{1}{(\overline{a})^4}$$

となります。

$\overline{a} = \frac{1}{a}$ であることから、

$$(\overline{a})^4 + \frac{1}{(\overline{a})^4} = \left( \frac{1}{a} \right)^4 + \frac{1}{\left( \frac{1}{a} \right)^4} = \frac{1}{a^4} + a^4$$

したがって、

$$\overline{a^4 + \frac{1}{a^4}} = a^4 + \frac{1}{a^4}$$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$|a| = 1$ のとき、$a^4 + \frac{1}{a^4}$ は実数である。