複素数 $z = 3 - i$ を原点を中心として、(1) $\frac{2}{3}\pi$ ラジアン、(2) $-\frac{\pi}{4}$ ラジアンだけ回転した点を表す複素数をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z = 3 - i$ を原点を中心として、(1) $\frac{2}{3}\pi$ ラジアン、(2) $-\frac{\pi}{4}$ ラジアンだけ回転した点を表す複素数をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $\theta$ ラジアン回転させることは、$z$ に $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を掛けることに相当します。

(1) $\theta = \frac{2}{3}\pi$ の場合：

$e^{i\frac{2}{3}\pi} = \cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、回転後の複素数は

$(3 - i)(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = (-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2})$

$= \frac{-3 + \sqrt{3}}{2} + i\frac{3\sqrt{3} + 1}{2}$

(2) $\theta = -\frac{\pi}{4}$ の場合：

$e^{-i\frac{\pi}{4}} = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、回転後の複素数は

$(3 - i)(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = (\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) + i(-\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

$= \frac{2\sqrt{2}}{2} + i\frac{-4\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} - i2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{-3 + \sqrt{3}}{2} + i\frac{3\sqrt{3} + 1}{2}$

(2) $\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i$