最初の問題は、$\sum_{k=1}^{5} (2k-1)^2$ を計算することです。 次の問題は、$\sum_{t=1}^{4} t(t+1)(t+2)$ を計算することです。 最後の問題は、$\sum_{k=1}^{4} 1000(\frac{3}{5})^{k-1}$ を等比数列の和の公式を使って計算し、空欄を埋めることです。

はい、承知いたしました。画像にある３つの数式を解いて、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

最初の問題は、$\sum_{k=1}^{5} (2k-1)^2$ を計算することです。

次の問題は、$\sum_{t=1}^{4} t(t+1)(t+2)$ を計算することです。

最後の問題は、$\sum_{k=1}^{4} 1000(\frac{3}{5})^{k-1}$ を等比数列の和の公式を使って計算し、空欄を埋めることです。

2. 解き方の手順

最初の問題：

$\sum_{k=1}^{5} (2k-1)^2 = (2(1)-1)^2 + (2(2)-1)^2 + (2(3)-1)^2 + (2(4)-1)^2 + (2(5)-1)^2$

$= 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2$

$= 1 + 9 + 25 + 49 + 81 = 165$

次の問題：

$\sum_{t=1}^{4} t(t+1)(t+2) = \sum_{t=1}^{4} t(t^2 + 3t + 2) = \sum_{t=1}^{4} (t^3 + 3t^2 + 2t)$

$= (1^3 + 3(1^2) + 2(1)) + (2^3 + 3(2^2) + 2(2)) + (3^3 + 3(3^2) + 2(3)) + (4^3 + 3(4^2) + 2(4))$

$= (1 + 3 + 2) + (8 + 12 + 4) + (27 + 27 + 6) + (64 + 48 + 8)$

$= 6 + 24 + 60 + 120 = 210$

最後の問題：

$\sum_{k=1}^{4} 1000(\frac{3}{5})^{k-1}$ は、初項 $a = 1000$、公比 $r = \frac{3}{5}$、項数 $n = 4$ の等比数列の和です。

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ です。

したがって、$\sum_{k=1}^{4} 1000(\frac{3}{5})^{k-1} = \frac{1000(1 - (\frac{3}{5})^4)}{1 - \frac{3}{5}}$

$= \frac{1000(1 - \frac{81}{625})}{\frac{2}{5}} = \frac{1000(\frac{625 - 81}{625})}{\frac{2}{5}} = \frac{1000 \times \frac{544}{625}}{\frac{2}{5}}$

$= 1000 \times \frac{544}{625} \times \frac{5}{2} = 1000 \times \frac{544}{125 \times 5} \times \frac{5}{2} = 8 \times \frac{544}{2} = 4 \times 544 = 2176$

したがって、空欄に当てはまるのは、

アイウエ = 1000

オ = 3

カ = 5

キ = 4

クケコサ = 2176

3. 最終的な答え

最初の問題：

165

次の問題：

210

最後の問題：

アイウエ = 1000

オ = 3

カ = 5

キ = 4

クケコサ = 2176