与えられた4元連立1次方程式が、ある解を持つとき、係数行列の行列式の値を求めよ。連立1次方程式は $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0$ $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0$ $a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 = 0$ $a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 = 0$ であり、解は $x_1 = \alpha$, $x_2 = \beta$, $x_3 = 1$, $x_4 = \gamma$ ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$は実数)である。求めたい値は、行列 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$ の行列式の値である。

1. 問題の内容

与えられた4元連立1次方程式が、ある解を持つとき、係数行列の行列式の値を求めよ。連立1次方程式は

$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0$

$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0$

$a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 = 0$

$a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 = 0$

であり、解は $x_1 = \alpha$, $x_2 = \beta$, $x_3 = 1$, $x_4 = \gamma$ ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$は実数)である。求めたい値は、行列

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$

の行列式の値である。

2. 解き方の手順

与えられた連立1次方程式は同次方程式であるため、自明な解 $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 0$ を常に持つ。しかし、問題文から、$(\alpha, \beta, 1, \gamma)$ という自明でない解を持つことがわかっている。同次連立1次方程式が自明でない解を持つための必要十分条件は、係数行列の行列式が0であることである。

3. 最終的な答え

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} = 0$