以下の連立一次方程式が解を持つように、定数 $b$ と $c$ の値を定め、その解を求める。 $\begin{cases} x + 6y + 3z + 4u = b \\ 2x + 3y - 3z - u = 9 \\ -3x + 2y + 11z + 8u = -20 \\ 4x - y - 13z - 9u = c \end{cases}$

1. 問題の内容

以下の連立一次方程式が解を持つように、定数 $b$ と $c$ の値を定め、その解を求める。

$\begin{cases}

x + 6y + 3z + 4u = b \\

2x + 3y - 3z - u = 9 \\

-3x + 2y + 11z + 8u = -20 \\

4x - y - 13z - 9u = c

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を行列で表現する。

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 \\

2 & 3 & -3 & -1 \\

-3 & 2 & 11 & 8 \\

4 & -1 & -13 & -9

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z \\

u

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

b \\

9 \\

-20 \\

c

\end{pmatrix}$

拡大係数行列を作成し、行基本変形を用いて簡約化する。

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 & b \\

2 & 3 & -3 & -1 & 9 \\

-3 & 2 & 11 & 8 & -20 \\

4 & -1 & -13 & -9 & c

\end{pmatrix}$

(2行目) - 2 * (1行目)

(3行目) + 3 * (1行目)

(4行目) - 4 * (1行目)

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 & b \\

0 & -9 & -9 & -9 & 9-2b \\

0 & 20 & 20 & 20 & -20+3b \\

0 & -25 & -25 & -25 & c-4b

\end{pmatrix}$

(2行目) / (-9)

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 & b \\

0 & 1 & 1 & 1 & \frac{2b-9}{9} \\

0 & 20 & 20 & 20 & -20+3b \\

0 & -25 & -25 & -25 & c-4b

\end{pmatrix}$

(3行目) - 20 * (2行目)

(4行目) + 25 * (2行目)

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 & b \\

0 & 1 & 1 & 1 & \frac{2b-9}{9} \\

0 & 0 & 0 & 0 & -20+3b - \frac{40b-180}{9} \\

0 & 0 & 0 & 0 & c-4b + \frac{50b-225}{9}

\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 & b \\

0 & 1 & 1 & 1 & \frac{2b-9}{9} \\

0 & 0 & 0 & 0 & \frac{-180+27b-40b+180}{9} \\

0 & 0 & 0 & 0 & \frac{9c-36b+50b-225}{9}

\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 & b \\

0 & 1 & 1 & 1 & \frac{2b-9}{9} \\

0 & 0 & 0 & 0 & \frac{-13b}{9} \\

0 & 0 & 0 & 0 & \frac{9c+14b-225}{9}

\end{pmatrix}$

解を持つためには、以下の条件が必要。

$\frac{-13b}{9} = 0$ より $b=0$

$\frac{9c+14b-225}{9} = 0$ より $9c+14b-225 = 0$

$b=0$ を代入して $9c - 225 = 0$, よって $c = 25$

$b=0, c=25$ のとき、連立方程式は次のようになる。

$\begin{cases}

x + 6y + 3z + 4u = 0 \\

y + z + u = -1

\end{cases}$

$x = -6y - 3z - 4u$

$y = -z - u - 1$

$x = -6(-z - u - 1) - 3z - 4u = 6z + 6u + 6 - 3z - 4u = 3z + 2u + 6$

解は $x = 3z + 2u + 6$, $y = -z - u - 1$ （$z$, $u$ は任意）

3. 最終的な答え

$b=0$, $c=25$

解は $x = 3z + 2u + 6$, $y = -z - u - 1$ ($z$, $u$ は任意)