数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n + 4$ で定義されている。 (1) $a_{n+1} - k = 3(a_n - k)$ と変形できるとき、$k$ の値を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。 (3) 階差数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_{n+1} - a_n$ で定義するとき、$b_1$ の値を求める。 (4) $b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n + 4$ で定義されている。

(1) $a_{n+1} - k = 3(a_n - k)$ と変形できるとき、$k$ の値を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

(3) 階差数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_{n+1} - a_n$ で定義するとき、$b_1$ の値を求める。

(4) $b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を $a_{n+1} - k = 3(a_n - k)$ の形に変形する。

$a_{n+1} - k = 3a_n - 3k$

$a_{n+1} = 3a_n - 2k$

これと $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を比較すると、 $-2k = 4$ であるから $k = -2$。

(2) $a_{n+1} - (-2) = 3(a_n - (-2))$ より $a_{n+1} + 2 = 3(a_n + 2)$。

数列 $\{a_n + 2\}$ は初項 $a_1 + 2 = 2 + 2 = 4$, 公比 $3$ の等比数列である。

よって $a_n + 2 = 4 \cdot 3^{n-1}$。

したがって $a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$。

(3) $b_1 = a_2 - a_1$ である。

$a_2 = 3a_1 + 4 = 3(2) + 4 = 10$ であるから、 $b_1 = 10 - 2 = 8$。

(4) $b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$ である。

$a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4$ より $b_{n+1} = (3a_{n+1} + 4) - a_{n+1} = 2a_{n+1} + 4$。

$b_n = a_{n+1} - a_n$ より $a_{n+1} = b_n + a_n$。

したがって、$b_{n+1} = 2(b_n + a_n) + 4 = 2b_n + 2a_n + 4$。

$a_{n+1} = 3a_n + 4$ より $3a_n = a_{n+1} - 4$。

$a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4$ でもあるから

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1} = 3a_{n+1} + 4 - a_{n+1} = 2a_{n+1} + 4$

また、$b_n = a_{n+1} - a_n$より、$a_{n+1} = a_n + b_n$となるので、

$b_{n+1} = 2a_{n+1} + 4 = 2(3 a_n + 4) + 4 = 6 a_n + 12$

$a_{n+1} = a_n + b_n = 3 a_n + 4$

$2 a_n = b_n - 4$

$a_n = \frac{b_n - 4}{2}$

$b_{n+1} = 2 a_{n+1} + 4 = 2 (a_n + b_n) + 4 = 2 a_n + 2 b_n + 4$

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1} = 3a_{n+1} + 4 - a_{n+1} = 2a_{n+1} + 4$

$b_n = a_{n+1} - a_n$

$a_{n+1} = b_n + a_n$

$a_{n+2} = b_{n+1} + a_{n+1}$

$a_{n+2} = 3 a_{n+1} + 4$

$a_{n+2} - a_{n+1} = 3 a_{n+1} + 4 - a_{n+1} = 2 a_{n+1} + 4$

$b_{n+1} = 2 a_{n+1} + 4 = 2(a_n + b_n) + 4$

$b_{n+1} = 3 b_n$

$b_{n} = a_{n+1} - a_{n}$

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1} = 3 a_{n+1} + 4 - a_{n+1} = 2 a_{n+1} + 4$

$b_{n} = a_{n+1} - a_{n}$より$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$

$a_{n+2} = 3a_{n+1}+4$ であるから $b_{n+1} = 3a_{n+1}+4 - a_{n+1} = 2a_{n+1} + 4$

漸化式より $a_{n+1} = 3a_n+4$なので、$b_{n+1} = 2a_{n+1}+4 = 2(3a_n+4)+4 = 6a_n + 12$

また、$b_n=a_{n+1}-a_n$より$a_{n+1}=b_n+a_n$, $a_n = a_{n+1} - b_n$, $a_{n+1} =3a_n+4$なので

$b_{n+1} = 3b_n$

3. 最終的な答え

(1) $k = -2$

(2) $a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$

(3) $b_1 = 8$

(4) $b_{n+1} = 3b_n$