与えられた数列の和 $S_n = 1\cdot1 + 3\cdot2 + 5\cdot2^2 + \cdots + (2n-1)\cdot2^{n-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S_n = 1\cdot1 + 3\cdot2 + 5\cdot2^2 + \cdots + (2n-1)\cdot2^{n-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の和は、等差数列と等比数列の積の和の形をしています。このような数列の和を求めるには、以下の手順で計算します。

(1) $S_n$ を書く。

(2) $S_n$ に等比数列の公比をかけたもの（ここでは $2S_n$）を書く。

(3) (1)と(2)の差を計算する。多くの項がキャンセルされ、計算しやすい形になる。

(4) 残った数列の和を計算する。

(5) 整理して $S_n$ を求める。

具体的に計算してみましょう。

$S_n = 1\cdot1 + 3\cdot2 + 5\cdot2^2 + \cdots + (2n-1)\cdot2^{n-1}$

両辺に2をかけると、

$2S_n = 1\cdot2 + 3\cdot2^2 + 5\cdot2^3 + \cdots + (2n-1)\cdot2^{n}$

$S_n - 2S_n$ を計算すると、

$-S_n = 1 + (3-1)\cdot2 + (5-3)\cdot2^2 + \cdots + (2n-1 - (2n-3))\cdot2^{n-1} - (2n-1)\cdot2^n$

$-S_n = 1 + 2\cdot2 + 2\cdot2^2 + \cdots + 2\cdot2^{n-1} - (2n-1)\cdot2^n$

$-S_n = 1 + 2(2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1}) - (2n-1)\cdot2^n$

$2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1}$ は、初項2、公比2、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^n - 2$

したがって、

$-S_n = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1)\cdot2^n$

$-S_n = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1)\cdot2^n$

$-S_n = 2^{n+1} - 3 - 2n\cdot2^n + 2^n$

$-S_n = 2\cdot2^n + 2^n - 2n\cdot2^n - 3$

$-S_n = (3 - 2n)\cdot2^n - 3$

$S_n = (2n-3)\cdot2^n + 3$

3. 最終的な答え

$S_n = (2n-3)2^n + 3$