2次関数 $y = -x^2 + 4x + a^2 + a$ について、$1 \le x \le 4$ の範囲で $y$ の値が常に正となるような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4x + a^2 + a$ について、$1 \le x \le 4$ の範囲で $y$ の値が常に正となるような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + a^2 + a$

$y = -(x^2 - 4x) + a^2 + a$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + a^2 + a$

$y = -(x - 2)^2 + 4 + a^2 + a$

よって、

$y = -(x - 2)^2 + a^2 + a + 4$

この2次関数のグラフは、上に凸の放物線で、頂点の座標は $(2, a^2 + a + 4)$ です。定義域 $1 \le x \le 4$ における $y$ の最小値が正であれば、$1 \le x \le 4$ の範囲で $y$ の値が常に正となります。

軸 $x=2$ は定義域 $1 \le x \le 4$ の中にあります。したがって、定義域における $y$ の最小値は、頂点ではなく、定義域の端点 $x=1$ または $x=4$ のいずれかになります。

$x=1$ のとき、

$y = -(1-2)^2 + a^2 + a + 4 = -1 + a^2 + a + 4 = a^2 + a + 3$

$x=4$ のとき、

$y = -(4-2)^2 + a^2 + a + 4 = -4 + a^2 + a + 4 = a^2 + a$

$y = a^2 + a$ が最小値を与えるかどうかを確認します。

$x=1$ のとき $y=a^2+a+3$

$x=4$ のとき $y=a^2+a$

$x=4$のときの方が小さいため、

$1 \le x \le 4$ の範囲における $y$ の最小値は $a^2 + a$ となります。

したがって、$a^2 + a > 0$ であれば、$1 \le x \le 4$ の範囲で $y$ の値が常に正となります。

$a^2 + a > 0$

$a(a + 1) > 0$

この不等式を解くと、$a < -1$ または $a > 0$ となります。

3. 最終的な答え

$a < -1$ または $a > 0$