2次方程式 $x^2 - mx + 2m + 5 = 0$ について、以下の3つの条件を満たす定数 $m$ の範囲を求める問題です。 (1) 異なる2つの実数解をもつ。 (2) 4より大きい解と4より小さい解をもつ。 (3) 異なる2つの4より大きい解をもつ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - mx + 2m + 5 = 0$ について、以下の3つの条件を満たす定数 $m$ の範囲を求める問題です。

(1) 異なる2つの実数解をもつ。

(2) 4より大きい解と4より小さい解をもつ。

(3) 異なる2つの4より大きい解をもつ。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの実数解をもつ条件

2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要があります。

$D = (-m)^2 - 4(1)(2m + 5) = m^2 - 8m - 20 > 0$

これを解くと、$m < -2$ または $m > 10$

(2) 4より大きい解と4より小さい解をもつ条件

$f(x) = x^2 - mx + 2m + 5$ とおくと、$f(4) < 0$ であればよい。

$f(4) = 4^2 - 4m + 2m + 5 = 16 - 4m + 2m + 5 = 21 - 2m < 0$

これを解くと、$2m > 21$ より $m > \frac{21}{2}$

(3) 異なる2つの4より大きい解をもつ条件

以下の3つの条件を満たす必要がある。

i) 異なる2つの実数解をもつ ($D>0$)

ii) 軸が4より大きい

iii) $f(4) > 0$

i) は (1) より $m < -2$ または $m > 10$

ii) 軸は $x = \frac{m}{2}$ なので、$\frac{m}{2} > 4$ より $m > 8$

iii) $f(4) = 21 - 2m > 0$ より $m < \frac{21}{2}$

i), ii), iii) をすべて満たす $m$ の範囲は、$10 < m < \frac{21}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $m < -2$ または $m > 10$

(2) $m > \frac{21}{2}$

(3) $10 < m < \frac{21}{2}$