4次関数 $y = 4x^4 - 12x^3 + 13x^2 + 7x + 18$ と異なる2点で接する直線を求める問題です。求める直線の方程式は $y = ax + b$ の形で表されます。

1. 問題の内容

4次関数 $y = 4x^4 - 12x^3 + 13x^2 + 7x + 18$ と異なる2点で接する直線を求める問題です。求める直線の方程式は $y = ax + b$ の形で表されます。

2. 解き方の手順

4次関数と直線が2点で接するということは、

$4x^4 - 12x^3 + 13x^2 + 7x + 18 = ax + b$

という方程式が重解を持つということです。この方程式を整理すると、

$4x^4 - 12x^3 + 13x^2 + (7 - a)x + (18 - b) = 0$

となります。2点で接するということは、この4次式が $4(x - \alpha)^2 (x - \beta)^2$ という形に変形できるということです。ここで、$\alpha$ と $\beta$ は接点の $x$ 座標です。

$4(x - \alpha)^2 (x - \beta)^2 = 4(x^2 - 2\alpha x + \alpha^2)(x^2 - 2\beta x + \beta^2)$

$= 4(x^4 - 2(\alpha + \beta)x^3 + (\alpha^2 + 4\alpha \beta + \beta^2)x^2 - 2\alpha \beta (\alpha + \beta)x + \alpha^2 \beta^2)$

$= 4x^4 - 8(\alpha + \beta)x^3 + 4(\alpha^2 + 4\alpha \beta + \beta^2)x^2 - 8\alpha \beta (\alpha + \beta)x + 4\alpha^2 \beta^2$

係数を比較すると以下のようになります。

$x^3$の係数： $-12 = -8(\alpha + \beta) \implies \alpha + \beta = \frac{3}{2}$

$x^2$の係数： $13 = 4(\alpha^2 + 4\alpha \beta + \beta^2) = 4((\alpha + \beta)^2 + 2\alpha \beta) = 4(\frac{9}{4} + 2\alpha \beta) = 9 + 8\alpha \beta$

したがって、$8\alpha \beta = 4$ より $\alpha \beta = \frac{1}{2}$

$x$ の係数： $7 - a = -8\alpha \beta (\alpha + \beta) = -8(\frac{1}{2})(\frac{3}{2}) = -6 \implies a = 13$

定数項： $18 - b = 4\alpha^2 \beta^2 = 4(\frac{1}{4}) = 1 \implies b = 17$

したがって、求める直線は $y = 13x + 17$ です。

3. 最終的な答え

$y = 13x + 17$