和 $S = 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n+1) \cdot 2^n$ を求めよ。

1. 問題の内容

和 $S = 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n+1) \cdot 2^n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた和を$S$とする。

$S = 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n+1) \cdot 2^n$

この式に2をかけると、

$2S = 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + 7 \cdot 2^4 + \dots + (2n+1) \cdot 2^{n+1}$

上の2つの式を引き算する。

$S - 2S = 3 \cdot 2 + (5-3) \cdot 2^2 + (7-5) \cdot 2^3 + \dots + (2n+1 - (2(n-1)+1)) \cdot 2^n - (2n+1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = 6 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \dots + 2 \cdot 2^n - (2n+1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = 6 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{n+1} - (2n+1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = 6 + \sum_{k=3}^{n+1} 2^k - (2n+1) \cdot 2^{n+1}$

等比数列の和の公式 $\sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}$ を用いる。

$\sum_{k=3}^{n+1} 2^k = \sum_{k=0}^{n+1} 2^k - 2^0 - 2^1 - 2^2 = \frac{1-2^{n+2}}{1-2} - 1 - 2 - 4 = 2^{n+2} - 1 - 7 = 2^{n+2} - 8$

$-S = 6 + 2^{n+2} - 8 - (2n+1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = 2^{n+2} - 2 - (2n+1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = 2 \cdot 2^{n+1} - 2 - (2n+1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = (2 - (2n+1)) \cdot 2^{n+1} - 2$

$-S = (-2n+1) \cdot 2^{n+1} - 2$

$S = (2n-1) \cdot 2^{n+1} + 2$

$S = (2n-1) \cdot 2 \cdot 2^n + 2$

$S = (4n-2) \cdot 2^n + 2$

3. 最終的な答え

$S = (4n-2)2^n + 2$