SENSEI AI
About App

与えられた6つの行列の階数を求める問題です。

代数学線形代数行列階数行基本変形
2025/6/14

1. 問題の内容

与えられた6つの行列の階数を求める問題です。

2. 解き方の手順

行列の階数は、行列を簡約化（行基本変形）した際に現れる、0でない行の数です。各行列について、以下の手順で階数を求めます。
(1)
(102224537)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 5 & 3 & 7 \end{pmatrix}
2行目から1行目の2倍を引く。3行目から1行目の5倍を引く。
(10202003−3)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}
3行目から2行目の1.5倍を引く。
(10202000−3)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}
3行とも0でないので、階数は3。
(2)
(0216241837215)\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 6 \\ 2 & 4 & 1 & 8 \\ 3 & 7 & 2 & 15 \end{pmatrix}
1行目と2行目を入れ替える。
(2418021637215)\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 8 \\ 0 & 2 & 1 & 6 \\ 3 & 7 & 2 & 15 \end{pmatrix}
3行目から1行目の1.5倍を引く。
(24180216010.53)\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 8 \\ 0 & 2 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0.5 & 3 \end{pmatrix}
3行目から2行目の0.5倍を引く。
(241802160000)\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 8 \\ 0 & 2 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
0でない行は2つなので、階数は2。
(3)
(10−210−11−11402−13112−1−10)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}
3行目から1行目を引く。4行目に1行目を足す。5行目から1行目の2倍を引く。
(10−210−11−1042103−120−13−2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & -2 \end{pmatrix}
3行目に2行目の4倍を足す。4行目に2行目の3倍を足す。5行目から2行目を引く。
(10−210−11−1006−3002−1002−1)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 6 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}
5行目から4行目を引く。
(10−210−11−1006−3002−10000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 6 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
4行目から3行目の1/3倍を引く。
(10−210−11−1006−300000000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 6 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
0でない行は3つなので、階数は3。
(4)
(241−13321514311196)\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & -1 \\ 3 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 4 & 3 \\ 11 & 1 & 9 & 6 \end{pmatrix}
計算を省略すると、簡約化された行列は
(1000010000100001)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
0でない行は4つなので、階数は4。
(5)
(1234523456345674567856789)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
簡約化すると
(123450−1−2−3−4000000000000000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
0でない行は2つなので、階数は2。
(6)
(−1211−311−6−2−4−21731)\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & -6 & -2 & -4 \\ -2 & 1 & 7 & 3 & 1 \end{pmatrix}
簡約化すると
(10−3−1−101−10−200000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
0でない行は2つなので、階数は2。

3. 最終的な答え

(1) 3
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 2
(6) 2

「代数学」の関連問題

ある製品の原価が4月には1個あたり100円、5月には1個あたり115円だった。2カ月の合計生産個数は10000個で、1個あたりの平均原価は109円だった。4月の生産個数を求める。

一次方程式文章問題数量関係
2025/6/14

PはQよりも10歳若い。また、Pの年齢はQの年齢の5/7である。このとき、Pの年齢を求める。

方程式連立方程式文章問題
2025/6/14

$a$は定数とする。関数 $f(x) = (x^2+2x+2)^2 - 2a(x^2+2x+2) + a$ の最小値を$n$とする。 (1) $t = x^2 + 2x + 2$とする。$x$がすべて...

二次関数最小値平方完成場合分け
2025/6/14

与えられた連立不等式を解きます。連立不等式は2つあり、それぞれ以下の通りです。 (1) $ \begin{cases} 6x-9 < 2x-1 \\ 3x+7 \leq 4(2x+3) \end{ca...

連立不等式不等式一次不等式
2025/6/14

第3項が1、初項から第8項までの和が-10である等差数列$\{a_n\}$がある。 (1) 数列$\{a_n\}$の初項と公差を求める。 (2) 数列$\{a_n\}$を、第$k$群に$2^{k-1}...

等差数列数列群数列連立方程式
2025/6/14

問題は等差数列 $\{a_n\}$ に関するものです。 (1) 第3項が1、初項から第8項までの和が-10であるとき、初項と公差を求めます。 (2) 数列 $\{a_n\}$ を第k群に $2^{k-...

数列等差数列和群数列
2025/6/14

等差数列 $\{a_n\}$ について、第3項が1、初項から第8項までの和が-10である。 (1) $\{a_n\}$ の初項と公差を求める。 (2) $\{a_n\}$ を、第 $k$ 群に $2^...

等差数列数列群数列
2025/6/14

1個120円の菓子Aと1個80円の菓子Bを合わせて30個買う。100円の箱に入れてもらう。菓子代と箱代の合計金額を3000円以下にするとき、菓子Aは最大で何個買えるかを求める。

不等式文章問題一次不等式
2025/6/14

与えられた不等式 $x^2 + 6x + 9 \leqq 0$ を解く。

不等式二次不等式因数分解解の公式
2025/6/14

不等式 $4 + \frac{1}{5}(n-4) > \frac{1}{2}n$ を満たす最大の自然数 $n$ を求める問題です。

不等式一次不等式自然数
2025/6/14